奈奎斯特采樣定理（Nyquist）

采樣定理在1928年由美國(guó)電信工程師H.奈奎斯特首先提出來(lái)的，因此稱為奈奎斯特采樣定理。

1933年由蘇聯(lián)工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴(yán)格地表述這一定理，因此在蘇聯(lián)文獻(xiàn)中稱為科捷利尼科夫采樣定理。

1948年信息論的創(chuàng)始人C.E.香農(nóng)對(duì)這一定理加以明確地說(shuō)明并正式作為定理引用，因此在許多文獻(xiàn)中又稱為香農(nóng)采樣定理。

奈奎斯特采樣定理解釋了采樣率和所測(cè)信號(hào)頻率之間的關(guān)系。 闡述了采樣率fs必須大于被測(cè)信號(hào)感興趣最高頻率分量的兩倍。

該頻率通常被稱為奈奎斯特頻率fN。即：

首先，我們要明確以下兩點(diǎn)：

采樣的目的是為了利用有限的采用率，無(wú)失真的還原出原有聲音信號(hào)的樣子。

奈奎斯特采樣定理也可以理解為一個(gè)正弦波每個(gè)周期最少取兩個(gè)點(diǎn)才能把正弦波還原回去。

為更好理解其原因，讓我們來(lái)看看不同速率測(cè)量的正弦波。

1. 假設(shè)? fS??= fN?

可以看出，無(wú)論我們從哪一點(diǎn)開(kāi)始采樣，每次采集到的數(shù)據(jù)都是一樣的，對(duì)應(yīng)的頻率成分為0Hz。

2. 假設(shè) fS?= (4/ 3) * fN?

以上采樣到的曲線仍然無(wú)法還原原有波形的樣子。

3. 假設(shè) fS??= 2 * fN?

如上圖，將這些采樣點(diǎn)連成線條，得到的信號(hào)形狀為三角波，雖然信號(hào)的頻率成分沒(méi)有失信，但是很難保證信號(hào)的幅值不失真。因?yàn)檫@兩個(gè)采樣點(diǎn)很難位于正弦信號(hào)的波峰與波谷處。也就是說(shuō)，在很大程度上，采樣后的信號(hào)的幅值是失真的。

我們?cè)倏紤]如下情況：

假設(shè)一條正弦曲線為sin(2π/t)，頻率為1Hz。我們以2Hz的頻率對(duì)該曲線進(jìn)行采樣（每隔0.5s），可以得到3個(gè)紅色采樣數(shù)據(jù)，如下圖：

對(duì)于這三個(gè)點(diǎn)，我們不能確定它對(duì)應(yīng)的正弦曲線是sin(2π/t)，因?yàn)閟in(4π/t)等倍頻曲線也會(huì)穿過(guò)這三個(gè)紅色采樣點(diǎn)：

混疊

如果信號(hào)的采樣率低于兩倍奈奎斯特頻率，采樣數(shù)據(jù)中就會(huì)出現(xiàn)虛假的低頻成分。 這種現(xiàn)象便稱為混疊。

下圖顯示了800 kHz正弦波1MS/s時(shí)的采樣。虛線表示該采樣率時(shí)記錄的混疊信號(hào)。 800 kHz頻率與通帶混疊，錯(cuò)誤地顯示為200 kHz正弦波。

絕大多數(shù)信號(hào)都是能夠進(jìn)行傅里葉變換的，就意味著，不管一個(gè)信號(hào)多么復(fù)雜，總可以分解為若干個(gè)正（余）弦信號(hào)的和，對(duì)應(yīng)了信號(hào)的頻率分量。因此，Nyquist采樣定理只需找到信號(hào)最大的頻率分量，再用2倍于最大頻率分量的采樣頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，從理論上解決了，離散信號(hào)能夠重建出連續(xù)信號(hào)的問(wèn)題.

編輯：黃飛

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