背景介紹

本文是基于我們之前的 RPN（Reconciled Polynomial Network）研究的后續(xù)工作。在此前的研究中，我們提出了 RPN 這一通用模型架構(gòu)，其包含三個組件函數(shù)：數(shù)據(jù)擴(kuò)展函數(shù)、參數(shù)調(diào)和函數(shù)和剩余函數(shù)。

我們先前的研究表明，RPN 在構(gòu)建不同復(fù)雜性、容量和完整性水平的模型方面具有很強(qiáng)的通用性，同時可以作為統(tǒng)一多種基礎(chǔ)模型（包括 PGM、核 SVM、MLP 和 KAN）的框架。

然而，先前的 RPN 模型基于以下假設(shè)：訓(xùn)練批次中的數(shù)據(jù)實(shí)例是獨(dú)立同分布的。此外，在每個數(shù)據(jù)實(shí)例內(nèi)部，RPN 還假定所涉及的數(shù)據(jù)特征彼此獨(dú)立，并在擴(kuò)展函數(shù)中分別處理這些數(shù)據(jù)特征。

不過，現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)往往存在比較強(qiáng)的相互依賴關(guān)系，這種依賴關(guān)系既存在于樣本之間，也存在樣本內(nèi)部各個數(shù)據(jù)特征之間。

如上圖中 (a)-(d) 所示， 對于圖像、語言、時間序列和圖等復(fù)雜且具有相互依賴的數(shù)據(jù)，這使得先前 RPN 模型的獨(dú)立假設(shè)不成立。如果像先前的 RPN 模型那樣忽略這些數(shù)據(jù)的相互依賴性，學(xué)習(xí)性能將顯著下降。

RPN 2 模型結(jié)構(gòu)

為了解決上面提到的問題，在本文中，我們重新設(shè)計了 RPN 架構(gòu)，提出了新的RPN 2（即Reconciled Polynomial Network 2.0）模型。如上圖中所示，RPN 2 引入了一個全新的組件——數(shù)據(jù)依賴函數(shù)，用于顯式建模數(shù)據(jù)實(shí)例和數(shù)據(jù)特征之間的多種依賴關(guān)系。

這里需要解釋一下，雖然我們在本文中將該組件稱為“依賴函數(shù)（interdependence function）”，但實(shí)際上，該函數(shù)捕獲了輸入數(shù)據(jù)中的多種關(guān)系，包括結(jié)構(gòu)性依賴、邏輯因果關(guān)系、統(tǒng)計相關(guān)性以及數(shù)值相似性或差異性等。

在模型架構(gòu)方面，如上圖所示，RPN 2由四個組成函數(shù)構(gòu)成：數(shù)據(jù)擴(kuò)展函數(shù)（data expansion function）、數(shù)據(jù)依賴函數(shù)（data interdependence function）、參數(shù)調(diào)和函數(shù)（parameter reconciliation function）、和余項(xiàng)函數(shù)（remainder function）。數(shù)據(jù)擴(kuò)展函數(shù)：根據(jù)數(shù)據(jù)擴(kuò)展函數(shù)的定義，RPN 2 將數(shù)據(jù)向量從輸入空間投射到中間隱層（更高維度）空間，投射后的數(shù)據(jù)將由新空間中的新的基向量表示。數(shù)據(jù)依賴函數(shù)：根據(jù)數(shù)據(jù)和底層模態(tài)結(jié)構(gòu)信息，RPN 2 將數(shù)據(jù)投射到依賴函數(shù)空間，投射后的數(shù)據(jù)分布能夠有效地獲取數(shù)據(jù)樣本和特征之間的相互依賴關(guān)系。參數(shù)調(diào)和函數(shù)：為了應(yīng)對數(shù)據(jù)擴(kuò)展帶來的“維度災(zāi)難”問題，RPN 2 中的參數(shù)調(diào)和函數(shù)將一組減少的參數(shù)合成為一個高階參數(shù)矩陣。這些擴(kuò)展的數(shù)據(jù)向量通過與這些生成的調(diào)和參數(shù)的內(nèi)積進(jìn)行多項(xiàng)式集成，從而將這些擴(kuò)展的數(shù)據(jù)向量投射回所需的低維輸出空間。余項(xiàng)函數(shù)：此外，余數(shù)函數(shù)為 RPN 2 提供了額外的補(bǔ)充信息，以進(jìn)一步減少潛在的近似誤差。

RPN 2 深度和廣度的模型結(jié)構(gòu)

RPN 2 提供了靈活的模型設(shè)計和結(jié)構(gòu)，并且允許用戶搭建不同深度和廣度的模型結(jié)構(gòu)。

上圖展示了 RPN 2 的多層（K層）架構(gòu)，每一層包含多個頭部（multi-head）用于函數(shù)學(xué)習(xí)，這些頭部的輸出將被融合在一起。右側(cè)子圖展示了 RPN 2 頭部的詳細(xì)架構(gòu)，包括數(shù)據(jù)變換函數(shù)、多通道參數(shù)調(diào)和函數(shù)、余項(xiàng)函數(shù)及其內(nèi)部操作。

屬性和實(shí)例的相互依賴函數(shù)會計算相互依賴矩陣，該矩陣將應(yīng)用于輸入數(shù)據(jù)批次，位置可以是在數(shù)據(jù)變換函數(shù)之前或之后。虛線框內(nèi)黃色圓角矩形表示可選的數(shù)據(jù)處理函數(shù)（例如激活函數(shù)和歸一化函數(shù)），這些函數(shù)可作用于輸入、擴(kuò)展以及輸出數(shù)據(jù)。

多模態(tài)數(shù)據(jù)底層結(jié)構(gòu)和依賴函數(shù)

本文還專門分析了幾種常見數(shù)據(jù)的底層模態(tài)結(jié)構(gòu)，包括圖像、點(diǎn)云、語言、時序、和各類圖結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)。如下圖所示：

grid：圖像和點(diǎn)云表示為網(wǎng)格結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，其中節(jié)點(diǎn)表示像素和體素，連邊表示空間位置關(guān)系；

chain：語言和時間序列數(shù)據(jù)表示為鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，其中節(jié)點(diǎn)表示詞元和數(shù)值，連邊表示順序關(guān)系；

graph：分子化合物和在線社交網(wǎng)絡(luò)表示為圖結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，其中節(jié)點(diǎn)表示原子和用戶，連邊表示化學(xué)鍵和社交連接。

4.1 圖像和點(diǎn)云數(shù)據(jù)幾何依賴函數(shù)

對于圖像和點(diǎn)云，每個 pixel （或者 voxel）之間的依賴關(guān)系往往存在于圖像和點(diǎn)云數(shù)據(jù)的局部。換而言之，我們可以從輸入的圖像和點(diǎn)云數(shù)據(jù)中劃分出局部的 patch 結(jié)構(gòu)，用來描述 pixel 和 voxel 之間的依賴范圍。

在傳統(tǒng)模型中，這種 patch 的形狀往往需要認(rèn)為定義，其形狀可以是cuboid shape，cylinder shape，sphere shape。而從 grid 中定義 pixel （或者 voxel）依賴范圍的過程可以表示為 patch packing 這一經(jīng)典幾何學(xué)問題。

取決于 patch 的形狀，本文提出了多中 packing 的策略用來定義依賴函數(shù)，以平衡獲取輸入數(shù)據(jù)信息的完整度和避免數(shù)據(jù)冗余。

4.2 語言和時序數(shù)據(jù)拓?fù)湟蕾嚭瘮?shù)

除了基于 grid 的幾何依賴函數(shù)之外，本文還介紹了基于 chain 和 graph 的拓?fù)湟蕾嚭瘮?shù)。鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)依賴函數(shù)和多跳鏈?zhǔn)揭蕾嚭瘮?shù)主要用于建模數(shù)據(jù)中的順序依賴關(guān)系，這種關(guān)系廣泛存在于自然語言、基因序列、音頻記錄和股票價格等數(shù)據(jù)中。

基于序列數(shù)據(jù)，本文定義了多種基于 chain 結(jié)構(gòu)的拓?fù)?single-hop 和 multi-hop 的依賴函數(shù)。其中 single-hop chain 結(jié)構(gòu)的拓?fù)湟蕾嚭瘮?shù)分為單向和雙向兩種。如下圖所示，單向依賴強(qiáng)調(diào)元素僅依賴于前一個，而雙向依賴則考慮元素同時依賴于前后鄰居，從而捕捉更全面的上下文信息。

為了高效建模長鏈數(shù)據(jù)中的多跳依賴關(guān)系，multi-hop chain 結(jié)構(gòu)的拓?fù)湟蕾嚭瘮?shù)引入了跳數(shù)（hop）參數(shù)，直接描述鏈中某一元素與多跳范圍內(nèi)其他元素的信息交互。同時，通過累積多跳函數(shù)聚合多個跳數(shù)的信息，進(jìn)一步擴(kuò)展了特征捕獲范圍。

4.3 圖結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)拓?fù)湟蕾嚭瘮?shù)

不僅如此，如下圖所示，本文還提出了基于 graph 結(jié)構(gòu)的拓?fù)湟蕾嚭瘮?shù)。圖結(jié)構(gòu)依賴函數(shù)和基于 PageRank 的圖結(jié)構(gòu)依賴函數(shù)旨在建模復(fù)雜數(shù)據(jù)之間的廣泛依賴關(guān)系，特別是以圖為基礎(chǔ)的數(shù)據(jù)，如社交網(wǎng)絡(luò)、基因互動網(wǎng)絡(luò)等。

在圖結(jié)構(gòu)依賴函數(shù)中，數(shù)據(jù)的依賴關(guān)系被表示為一個圖 G=(V,E)，其中節(jié)點(diǎn)表示屬性或數(shù)據(jù)實(shí)例，邊表示它們之間的依賴關(guān)系，對應(yīng)的依賴矩陣 A 則是圖的鄰接矩陣。基于該圖結(jié)構(gòu)，函數(shù)通過矩陣運(yùn)算建模節(jié)點(diǎn)之間的多跳依賴關(guān)系，并引入累積多跳函數(shù)以整合多層次的信息交互。

進(jìn)一步地，基于 PageRank 的圖依賴函數(shù)利用圖的隨機(jī)游走思想，通過收斂矩陣高效地建模全局的長距離依賴關(guān)系，并支持多種矩陣歸一化策略以增強(qiáng)計算的穩(wěn)定性和靈活性。

RPN 2 依賴函數(shù)列表

除了上述提到的依賴函數(shù)之外，本文還提出了多中依賴函數(shù)用來建模多種類型數(shù)據(jù)之間的依賴關(guān)系。通過有效地使用這些依賴函數(shù)和其他函數(shù)，我們可以構(gòu)建更加有效的模型架構(gòu)，使 RPN 2 能夠應(yīng)對廣泛的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)。

在本文中，我們總共提出了 9 大類，50 多種的數(shù)據(jù)依賴函數(shù)，部分依賴函數(shù)的表示和基本信息都總結(jié)在了上面的列表中。

深度學(xué)習(xí)模型的統(tǒng)一表示：CNN, RNN, GNN 和 Transformer

RPN 實(shí)現(xiàn)了豐富的功能函數(shù)，具體列表如上圖所示。通過組合使用上述功能函數(shù)，RPN 2 不僅可以構(gòu)建功能強(qiáng)大的模型結(jié)構(gòu)，并且可以統(tǒng)一現(xiàn)有基礎(chǔ)模型的表示，包括 CNN，RNN，GNN 和 Transformer 模型。

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證提出的 RPN 2 模型的有效性，本文通過大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析，證明了 RPN 2 在多種 Function Learning Task 上的有效性。

在本文中，具體的實(shí)驗(yàn)任務(wù)包括：離散圖片和文本分類，時序數(shù)據(jù)預(yù)測，和圖結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)等。7.1 離散圖片和文本分類在本文中，我們在離散圖片和文本數(shù)據(jù)集上測試了 RPN 2 的實(shí)驗(yàn)效果，包括：

MNIST 圖片數(shù)據(jù)集

CIFAR10 圖片數(shù)據(jù)集

IMDB 文本數(shù)據(jù)集

SST2 文本數(shù)據(jù)集

AGNews 文本數(shù)據(jù)集

我們不僅跟先前的 RPN 1 模型進(jìn)行了對比，也和傳統(tǒng)的 MLP 和 CNN/RNN 模型進(jìn)行了對比，具體結(jié)果如下表所示：

Note: 本文實(shí)驗(yàn)所使用的數(shù)據(jù)集，都沒有使用基于 flipping，rotation 等技術(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)增強(qiáng)。上表展示了各個方法在多個數(shù)據(jù)集上分類的 Accuracy score。

7.2 圖片數(shù)據(jù)依賴擴(kuò)展

對于圖片數(shù)據(jù)，RPN 2 使用了基于 cylinder patch shape 的依賴函數(shù)。下圖也展示了部分圖片基于 RPN 2 所學(xué)得的數(shù)據(jù)表示，其中圖片中的每個 pixel 都被擴(kuò)展成了一個 cylinder patch shape，每個 cylinder patch 包含了每個 pixel 周圍的有效的 context 信息。

7.3 時序數(shù)據(jù)預(yù)測

RPN 2 也可以有效地擬合時序數(shù)據(jù)，本文使用了四個時序數(shù)據(jù)集來驗(yàn)證 RPN 2 在時序數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測的有效性，包括：

Stock market dataset

ETF market dataset

LA traffic record

Bay traffic record

如下表所示，通過使用 chain 結(jié)構(gòu)的依賴函數(shù)，RPN 2 可以有效的獲取時序數(shù)據(jù)之間的依賴關(guān)系，并且在各個數(shù)據(jù)集上都獲得有效的學(xué)習(xí)結(jié)果。

Note: 上表中的結(jié)果是各個方法在幾個時序數(shù)據(jù)集上預(yù)測結(jié)果的 MSE。

圖結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)

為了驗(yàn)證 RPN 2 在圖結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)上的有效性，本文也提供了各個方法在 graph 結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)上的學(xué)習(xí)結(jié)果，包括：

Cora graph

Citeseer graph

Pubmed graph

如下表所示，基于 graph 依賴函數(shù)和復(fù)合依賴函數(shù)（包括 graph 和 bilinear 依賴函數(shù)），RPN 2 在多個 graph 數(shù)據(jù)集上都可以獲得比 GCN 都優(yōu)的節(jié)點(diǎn)分類的結(jié)果。

Note: 上表中的結(jié)果是各個方法在幾個 graph 數(shù)據(jù)集上 node 分類結(jié)果的 Accuracy。

于RPN 2的模型泛化誤差分析

除了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證之外， 本文還提供了基于 RPN 2 的模型泛化誤差的理論分析，其分析結(jié)果對目前主流的深度模型（例如 CNN, RNN, GNN 和 Transformer）都適用。

本文的模型泛化誤差是基于給定的數(shù)據(jù)集 D 來進(jìn)行分析，其中 D 的一部分可以作為訓(xùn)練集用來進(jìn)行模型訓(xùn)練，我們可以定義模型產(chǎn)生的誤差項(xiàng)如下圖所示：

本文中，模型泛化誤差是指 ，即模型在未見到的數(shù)據(jù)樣本上所產(chǎn)生的誤差和在訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本上產(chǎn)生的誤差的差別：

9.1 基于VC-Dimension泛化誤差分析基于 RPN 2 的模型結(jié)構(gòu)，我們定義了模型的 VC-Dimension 如下圖所示：

根據(jù)所獲得的 VC-Dimension 我們定義了 RPN 2 模型的泛化誤差如下圖所示：

9.2 基于Rademacher Complexity泛化誤差分析

除了 VC-dimension 之外，我們還基于 Rademacher Complexity 理論分析了模型的泛化誤差。相比 VC-dimension，Rademacher Complexity 不僅僅考慮了 RPN 2 模型結(jié)構(gòu)，還考慮了輸入數(shù)據(jù)對泛化誤差的影響。

基于提供的 RPN 2 模型，我們定義了模型 Rademacher Complexity 如下圖所示：

根據(jù)定義的 Rademacher Complexity，我們進(jìn)一步分析了 RPN 2 泛化誤差如下圖所示：

上述模型泛化誤差分析不僅僅可以從理論上解釋現(xiàn)有模型表現(xiàn)的區(qū)別，也為將來模型的設(shè)計提供了一下啟示，特別是針對依賴函數(shù)的設(shè)計。

RPN 2討論：優(yōu)點(diǎn)，局限性，以及后續(xù)工作10.1 RPN 2優(yōu)點(diǎn)

本文通過引入建模屬性和實(shí)例間關(guān)系的數(shù)據(jù)依賴函數(shù)，對 RPN 2 模型架構(gòu)進(jìn)行了重新設(shè)計。基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析，所提出的依賴函數(shù)顯著提升了 RPN 2 模型在處理復(fù)雜依賴數(shù)據(jù)時的學(xué)習(xí)能力，具體貢獻(xiàn)包括以下三方面：

理論貢獻(xiàn)：與假設(shè)數(shù)據(jù)獨(dú)立同分布的舊版模型不同，新設(shè)計的 RPN 2 模型通過一組基于輸入數(shù)據(jù)批次的依賴函數(shù)，能夠有效捕捉屬性與實(shí)例之間的依賴關(guān)系，從而大幅擴(kuò)展模型的建模能力。

此外，本文提供的理論分析（基于 VC 維和 Rademacher 復(fù)雜度）展示了如何定義最優(yōu)依賴函數(shù)以減少泛化誤差。這些依賴函數(shù)還從生物神經(jīng)科學(xué)角度模擬了神經(jīng)系統(tǒng)的某些補(bǔ)償功能，為功能學(xué)習(xí)任務(wù)提供新的啟發(fā)。