前幾天寫的關于示波器的文章，提到了探頭上面的寄生電容，兩個導體并排放置，天然就是一個電容。忽然想到，現如今HDMI 線里面的信號速率到上Ghz，HDMI線也做到了十幾米，這么長，等效電容肯定不小啊？這怎么能傳呢？信號不都被寄生電容濾波濾沒了么?

雖說這個時候也能用均勻傳輸線理論，集總參數模型，分布參數模型來說一說，但總覺得沒理解，如何去想象這個波在里面傳輸的過程。

我們硬件工程師總能記一大堆的結論，久而久之，總會忘記這些結論是如何推導出來的，甚至忘記了如何通俗的理解這些結論的形成過程。這樣造成的后果就是看一些文章都能懂，然而遇到一些新的問題的時候，總不知道如何從理論去分析。

于是乎，我又去翻了翻傳輸線理論的課本，并用Matlab做了幾個實驗，感覺挺有意思。

如何理解傳輸線理論

這個推導過程簡單概述如下：

首先建立分布參數模型，均勻傳輸線分割成許多微分段，由電阻，電感，電容，導納構成，根據基爾霍夫定律，可以列出電流電壓的表達式。

然后通過數學微分運算，二階齊次線性常系數微分方程通解，，最終可推算出傳輸線上電壓和電流表達式：

再根據邊界條件，終端電壓和電流值，求得一套A1和A2的值（其值為實數常數）。

經過一頓猛于虎的操作之后（作為學渣，能看到這里我還真有點佩服自己了），得出了傳輸線上各個點的電壓公式如下：

這里z是位置變量，表示到源端的距離，t是時間變量。這個公式的物理意義是什么呢？

第一項指的是信號源向負載方向傳播的行波，為入射波，其振幅隨傳輸線方向衰減。

第二項指的有負載想信號源方向傳播的行波，稱為反射波，其振幅隨傳輸線反方向衰減。

任一點的波形實際值是入射波和反射波在該點的疊加。

如何理解后面一項是前面一項的反射呢？

從表達式可以看出，

因為A1和A2為實數，所以Ur的波形形狀實際是Ui在z處的鏡像，只是幅值不同。

我們硬件工程師關注的重點是終端接收到的信號波形，模型如下：

當終端距離源端的距離是n分之一的波長時，相對波長屬于短距離傳輸，可當作無衰減的，因此電壓公式變為

反射系數也可以從推導過程中得出：

反射系數= (ZL-Z0)/ (ZL+Z0)

為什么走線短不用用阻抗匹配

經常有個結論，當信號上升沿小于6倍的傳輸線長度對應的時延，就要看作是高速信號，需要做阻抗匹配了，這個是怎么來的呢？

先來做個試驗：

實驗目的：看不同反射系數，不同傳輸線長度，終端波形隨實際的變化情況

根據方波的傅里葉傅里葉展開式為

電路中數字信號可以看做是方波，或者是梯形波（取部分諧波）。我們設定一些已知條件來做實驗：

---方波頻率為w

---傳輸線長度與基頻率波長的比值為length

---終端反射性系數為參量reflex

---源端反射系數為0（為了便于實驗，假定源端阻抗匹配好了，不會再發生反射）

原入射波激勵函數為：

根據這些條件，我們可以求得終端波形函數（入射波和反射波疊加）為：

求得源端疊加波形函數為（即我們實際看到的）：

下面來看看圖形情況：

1----方波取19次諧波，傳輸線長度取最高次諧波對應波長的1/3（此時對應信號上升沿等于6倍的傳輸線延時），終端反射系數為1，波形情況如下

可以看到，基本看不到失真。

這里解釋下，為什么源端初始激勵是最終看到波形的1一半左右，這是因為終端是全反射的，傳輸線短，所以入射波和反射波疊到一起就增大了。

另外可能會有疑問，終端波形不是比初始激勵大了一倍嗎？而現實中我們看到的都是源端和終端一致。這是因為我們實驗的前提是源端是阻抗匹配好的，反射系數為0，所以信號經過驅動內阻與阻抗匹配到傳輸線上，幅度就變成原來一半了，而我們圖中的初始激勵是已經降低之后的，是在傳輸線上的。

實際我們測量的源端和終端的波形一致，都是疊加的，從圖上也可以看出，源端和終端的疊加波形基本一致，只是有一定的時延。

2----方波取19次諧波，傳輸線長度取最高次諧波對應波長的2/3倍(此時對應信號上升沿的3倍的傳輸延時)，終端反射系數為1，波形情況如下

可以看出，波形已經是有明顯失真的。

根據前面2個例子，我們就能回答前面提出的問題：信號上升沿小于6倍的傳輸線長度對應的時延，就要看作是高速信號，需要做阻抗匹配了，這個是怎么來的呢？

好久沒用Matlab了，試一下還是挺有意思的，下面貼出源代碼，有興趣的可以自己試驗下，可以修改反射系數，傳輸線長度，諧波數等等，可以看到各種形狀，玩一玩能理解更好。

源代碼如下:

%方波展開式? wave=4/pi*{sinwt+1/3*sin3wt+1/5*sin5wt+...+(1/2n+1)*sin((1/2n+1)wt)}

t=-pi:0.001:5*pi;

omega=2*pi;

reflex=1;%反射系數

n_max = [1:2:1000];

% N=34;%100次諧波

N=10;

% for k=1:N

m = 3;%最高波長的m分之1

length = 1/(N*m);

for k=1:N

n=1:2:n_max(k);

b=4./(pi*n);

wave_dr=b*sin(omega*n'*t);? %驅動端原始波形

end

for k=1:N

n=1:2:n_max(k);

b=4./(pi*n);

wave_s=b*(sin(omega*n'*t)+reflex*sin(omega*n'*t+2*2*pi*length*n'));? %源端疊加波形

end

for k=1:N

n=1:2:n_max(k);

b=4./(pi*n);

wave_r=b*(sin(omega*n'*t-2*pi*length*n')+reflex*sin(omega*n'*t+2*pi*length*n'));? %終端疊加波形

end

figure;

plot(t,wave_dr);%驅動端原始波形

hold on;

plot(t,wave_s);%源端疊加波形

hold on;

plot(t,wave_r);%終端疊加波形

hold off;

% xlabel('時間軸t'),ylabel('幅度')

xlabel('時間軸t'),ylabel('幅度')

axis([0 pi/2 -2.5 2.5])

title(['諧波數=',num2str(n_max(k))])