基于特征解的有限彈性板中聲表面波的二維分析
通常認為聲表面波(Rayleigh 波)在無限大彈性板中具有不同的振動模態.
確切地說, 在板中具有代表對稱和反對稱模態的并以指數形式衰減和增長的成對
模態出現. 隨著板的厚度的增加, 這些成對出現的模態在疊加后將接近半無限彈
性體中的表面波模態, 當然也具有表面波的變形和速度特征, 但在彈性板的表面
卻有著較大的變形. 將有限彈性體表面波的二維理論加以擴展, 在展開函數中除
了熟知的指數衰減項外還考慮了指數增長項, 從而建立了有限彈性板中表面波分
析的二維理論. 利用這些新的方程, 研究了不同厚度彈性板中表面波指數衰減和
增長型模態的耦合. 發現對于厚度較小的彈性板, 這兩組模態是強耦合的, 在分
析中予以全部考慮也就顯得非常重要. 當彈性板的厚度增加到一定程度, 如大于
5 個波長時, 只用厚度衰減模態就可以分析表面波的振動模態, 從而可以極大地
簡化彈性板中表面波分析的二維方程組.
關鍵詞 表面波 Rayleigh 波 波傳播 彈性板 波速 振動 諧振器
聲表面波廣泛應用于各種電子器件, 其分析方法都是基于半無限大彈性固體中的表面波
(Rayleigh)理論[1~5]. 在工程領域, 表面波分析的基礎也是半無限大固體的經典解, 這已經成為器件和其他應用方面的典型物理模型[6~15]. 當然, Rayleigh波常常只集中在固體的表面傳播,當深度超過大概3 個波長以上, 固體中幾乎沒有擾動. 這也表明了把實際結構作為半無限大體處理的正確性. 在大多數情形下, 這樣的近似是可以接受的. 在聲表面波諧振器設計中, 常常
需要波速和衰減指數, 以確定諧振器的性能. 顯然, 精確分析上述參數至關重要, 尤其是在確定諧振器設計參數, 如基板厚度等. 另一方面, 無限板中的表面波解答和半無限體中的解答具有不同的形式. 例如, 在板中通常存在對稱和反對稱兩個模態, 并以指數形式衰減或增長[1].如同半無限大固體一樣, 板中的對稱或者反對稱模態的位移會按指數形式變化, 在中面上達到或接近零, 但在表面, 位移卻不會是零. 換言之, 以中面為界, 板的變形和半無限大體中的表面波相近, 但上下表面的位移和變形卻是半無限體中所不能看到的獨特特征. 對有限厚度的板, 需要強調的是在工程應用中, 表面位移不可忽略. 實際諧振器中, 光滑的下表面通需要磨粗以減少表面位移. 顯然, 在器件設計中, 分析計算表面的殘余位移非常重要, 這有助于減小因為表面位移所引起的能量損失.如果板的厚度增加, 位移將表現出表面波的特點, 尤其是沿厚度方向有清晰的變化. 當板中的表面波速度接近半無限體中的表面波速度時, 反對稱和對稱模態的合成位移將逐漸接近Rayleigh 波模態. 如果厚度趨向半無限大, 合成波速就是Rayleigh 波波速. 由于模態關于中面對稱, 因此下表面的位移不會消失. 基體厚度足夠大時, 中面一側的合成位移和Rayleigh 波的位移非常接近.既然板中有對稱和反對稱模態, 或者指數衰減或增長型模態, 計算板的主導模態時需要兩者兼顧. 將已知板中的主導模態作為基函數, 可以將有限固體中的表面波二維理論[11,12,16]推廣到考慮更多的振動模態[16~19]. 含有4 個振動模態的二維理論能更準確地預測板的表面波速度和模態耦合. 二維理論的推導和有關板的理論, 如Mindlin[20], Lee[21]和Peach[22]等人的研究是相似的.本項研究是我們分析有限大固體中表面波研究工作的一部分, 其典型應用是在表面波諧振器的設計中[16~19]. 將無限大板中表面波的特征模態作為基函數來展開位移, 可以改進此前的二維理論, 以考慮板的厚度影響. 二維方程可以進一步用于具有復雜結構的諧振器設計, 如利用有限元法對帶有電極的結構進行分析[23~25]. 本文中我們使用了與常見諧振器材料性能相近的各向同性材料, 但這些算例可以很容易的推廣到各向異性材料.
表面波在彈性體中的傳播特性, 一直是表面波諧振器作為電子元件(如傳感器和濾波器等)
的主要研究問題. 表面波技術在實際應用中常常集中于兩個方面, 一方面是各向異性壓電頻率諧振器, 另一方面是一些新的元件, 比如推力、壓力、溫度、角速度和角加速度傳感器(它們常常以諧振器作為敏感元件). 這些元件的設計和制造往往依靠簡單的原理和經驗來進行, 直到最近才開始重視一些精確分析的模型和方法, 并把它們應用于高效、精確的設計和產性能的提高上. 但是, 目前我們可以使用的計算方法只有采用三維彈性方程求解, 若要應用到有限大彈性體中, 只能采用有限元方法來求得數值解. 如果遇到了一些復雜的情況, 比如鍍有周期分布電極的彈性體, 計算量會大幅度增加, 數值解法也會遇到困難.
Wang等人[16~19]最近提出了表面波在有限大的彈性體中傳播的二維理論, 據此可以得出
表面波在有限大彈性體中傳播的精確解. 將其應用到實際產品設計中, 能夠改善目前表面波諧振器的設計方法. 本文根據無限大彈性板的三維精確理論, 研究表面波在無限大彈性板中的傳播情況, 主要包括位移和速度特性; 利用所得到的位移表達式, 結合二維理論, 可以計算出有限大板的波速隨板的厚度和長度變化的情況. 本文的模型和方法, 可以為表面波傳感器和濾波器等的設計提供參考依據.