一、信號與系統(tǒng)綜述

《信號與系統(tǒng)》是電子、信息類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，為后續(xù)課如通信原理、數(shù)字信號處理等的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，可以說，信號與系統(tǒng)課程學(xué)習(xí)的好壞，對整個電子信息類專業(yè)課程的學(xué)習(xí)至關(guān)重要，因為它起著承上啟下的作用。可惜我們的同學(xué)這門課都學(xué)得不好。從功利和追求真理兩個角度來說，都應(yīng)該學(xué)好這門課：從功利的角度來說，這門課學(xué)分多，難學(xué)，能拉開與其他學(xué)生的距離，獲得好的績點對畢業(yè)評優(yōu)很有好處，是某些專業(yè)考研的必考科目；從掌握真理的角度來說，學(xué)好這門課是理解通信過程的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，否則不僅后續(xù)課如通信原理、數(shù)字信號處理不好理解，而且對通信的基本問題，如信號無失真失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件、帶限信號采樣定理、信號調(diào)制等都不能理解，即使大學(xué)本科畢業(yè)了，其實對通信還是一個“門外漢”。《信號與系統(tǒng)》這門課的主要內(nèi)容，可以從它的課程名字，即“信號”與“系統(tǒng)”及為了研究信號與系統(tǒng)的求解而引入的“變換”這三個方面來說明。

1、信號信號是信息的載體，任何信息都通過信號作為載體來傳輸。有的信號如聲音信號、圖像信號等模擬信號是我們本身需要的，有的信號如各種調(diào)制信號是為了信號的傳輸而產(chǎn)生的，如模擬調(diào)制信號、數(shù)字調(diào)制信號，那么我們需要掌握信號的各種性質(zhì)，包括時域的性質(zhì)和頻域的性質(zhì)。信號在時域有哪些性質(zhì)呢？我們在時域能對信號進行哪些處理呢？

①信號在時域有連續(xù)性和離散型之分，連續(xù)性和離散型指時間取值，離散信號是數(shù)字時代的基本特征，它是對連續(xù)信號進行等間隔采樣取得的。對連續(xù)信號，有兩個特殊的信號很重要：階躍信號和沖激信號，它們往往是描述其他連續(xù)信號的基礎(chǔ)；對離散信號，也有兩個重要的特殊信號：單位采樣信號和單位階躍信號。吳大正教材一般稱“函數(shù)”，這里我們一般稱“信號”，同樣地，這兩個信號也是描述其他離散信號的基礎(chǔ)。

②信號在時域可以進行各種運算，如相加、相減、反轉(zhuǎn)、平移、幅度伸縮、時間伸縮（即尺度變換）。注意離散信號一般不做尺度變換，因為可能丟失原信號的部分信息。③信號在時域有周期性和非周期性之分，它們在頻域的性質(zhì)差別是很大的：前者在頻域是離散的，后者在頻域是連續(xù)的。

④根據(jù)信號的能量有限性和功率有限性，將信號分為能量信號和功率信號，能量信號對應(yīng)的頻域描述是頻譜密度和能量譜密度，功率信號對應(yīng)的頻域描述是頻譜和功率譜密度。⑤信號在時域的自相關(guān)函數(shù)是一個很重要的概念，它不僅反映了信號的自相關(guān)程度，而且根據(jù)維納-欣欽公式，它是聯(lián)系時域和頻域的一個紐帶。以上孤立地研究信號，沒有考慮系統(tǒng)的作用，任何信號都是在一定的系統(tǒng)中起作用的，因此必須要考慮系統(tǒng)的性質(zhì)及信號和系統(tǒng)的相互作用。

2、系統(tǒng)簡單地說，系統(tǒng)就是完成一定功能的整體，如消化系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等，在通信中就是通信系統(tǒng)，本課程主要是電路系統(tǒng)，因為信號是電信號，系統(tǒng)是對電信號進行處理的。為什么要研究系統(tǒng)呢？一是因為信號必須在一定的系統(tǒng)中才起作用，才能傳輸和處理，比如信號要無失真地傳輸，對系統(tǒng)必須有一定的要求；二是系統(tǒng)本身具有一定的功能和性質(zhì)，必須專門研究，比如如何實現(xiàn)各種不同功能的系統(tǒng)。

①本課程的系統(tǒng)最重要的特征是線性，此外還有時不變性，由于有這兩個假設(shè)，研究起來就比較方便，而且現(xiàn)實的系統(tǒng)一般都滿足這兩個條件。簡單說，因果性就是指結(jié)果不能發(fā)生在原因之前。因果性很重要，因為它關(guān)系到系統(tǒng)能否實現(xiàn)，模擬的非因果系統(tǒng)是不能實現(xiàn)的，但是數(shù)字非因果系統(tǒng)可以利用延遲電路來實現(xiàn)，這體現(xiàn)了數(shù)字信號處理的優(yōu)越性。穩(wěn)定性也很重要，因為它關(guān)系到系統(tǒng)能否正常工作。系統(tǒng)的四性，即線性、時不變性、因果性、穩(wěn)定性是對系統(tǒng)總的概括，必須首先深刻理解。

②當(dāng)系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)都是連續(xù)信號時，稱為連續(xù)系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)的關(guān)系用微分方程來描述；當(dāng)激勵和響應(yīng)都是離散信號時，稱為離散系統(tǒng)，離散系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)的關(guān)系用差分方程來描述。

③當(dāng)系統(tǒng)是已知的，給出任意激勵，求出系統(tǒng)的響應(yīng)是一個基本任務(wù)，時域的求解有兩個方法：一個是求解微分方程或差分方程，這是一種純粹的數(shù)學(xué)方法，其中求連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)通常是很麻煩的，后面我們會看到在變換域中求沖激響應(yīng)是很簡單的；另一個是信號分解的方法，求出基本信號（沖激信號、單位采樣信號）的響應(yīng)，然后利用信號的分解和系統(tǒng)的線性和時不變性，由此得出系統(tǒng)的總響應(yīng)，并由此導(dǎo)出卷積、卷積和的概念。求沖激響應(yīng)的匹配法是一個很變態(tài)的理論，太繁瑣了，不要求掌握，初步了解一下就可以了，因為后面有求解這類問題的非常高效的方法，即拉氏變換法。一個系統(tǒng)的特性完全由沖激響應(yīng)或者單位采樣響應(yīng)決定，為什么呢？這是因為沖激信號和單位采樣信號的頻譜是一條“水平線”，它包含了所有的頻率分量，而且所有頻率分量的能量都是一樣的，這樣的信號經(jīng)過一個系統(tǒng)之后，系統(tǒng)的響應(yīng)就完全決定了系統(tǒng)的性質(zhì)。事實上，卷積（卷積和）的方法有時甚至比求解微分（差分方程）更麻煩，但是卷積方法包含了明顯的物理意義，由信號分解的方法導(dǎo)出很多優(yōu)美的理論，如傅里葉變換、拉氏變換和z變換等，它們本質(zhì)上都是信號分解的方法。例如，傅里葉變換將信號分解為正弦信號或復(fù)指數(shù)信號之和，基本的復(fù)指數(shù)信號經(jīng)過系統(tǒng)之后，還是一個同頻率的復(fù)指數(shù)信號，但是其幅度和相位發(fā)生了改變，幅度和相位如何改變，完全由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，由此發(fā)展出線性時不變系統(tǒng)的頻域分析方法。

3、變換信號與系統(tǒng)的核心內(nèi)容是三個變換，及由變換引入的很多概念和方法。

①三個變換，即傅里葉變換、拉氏變換和z變換，其中傅里葉變換的物理意義最豐富，由它引入很多有實在意義的概念，如幅頻特性、相頻特性、頻移特性（調(diào)制）、能量譜、功率譜、帶寬等。此外，信號無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件、吉布斯現(xiàn)象、取樣定理等，都涉及傅里葉變換。由離散傅里葉級數(shù)和離散時間傅里葉變換結(jié)合，引入離散傅里葉變換的概念，它是現(xiàn)代數(shù)字信號處理最重要的分析工具。另外兩個變換，即拉氏變換和z變換，它們作為一種分析工具的意味更強一些，但是也包含很多物理意義，并且和傅里葉變換有著一定的聯(lián)系。

②拉氏變換是為了克服傅里葉變換的兩個缺點而引入的，因而威力更大一些，解決的問題更多一些，并且傅里葉變換就是一種特殊情況下的拉氏變換。拉氏變換也是一種信號分解的處理方法，不過它將信號分解為另一種形式的復(fù)指數(shù)信號，在求系統(tǒng)響應(yīng)和卷積方面，拉氏變換有著很高的效率：它將微分方程變成代數(shù)方程，將卷積變成乘積。由拉氏變換可以導(dǎo)出系統(tǒng)函數(shù)，當(dāng)然就更有物理意義了：由系統(tǒng)函數(shù)可以判斷系統(tǒng)的性質(zhì)如系統(tǒng)的沖激響應(yīng)、濾波特性、穩(wěn)定性等，它也是電路設(shè)計的基礎(chǔ)。③z變換是為了分析和求解離散系統(tǒng)而引入的，它將差分方程變成代數(shù)方程，將卷積和變成乘積。z變換也是一種信號分解方法，它的基本信號也是一個復(fù)指數(shù)信號。相對連續(xù)系統(tǒng)的信號來說，離散信號的一些概念更難理解一些，如數(shù)字角頻率、幅頻特性、相頻特性等，這些概念需要反復(fù)體會，將模擬系統(tǒng)和數(shù)字系統(tǒng)進行對照分析、理解。

④三個變換的性質(zhì)很多，都有差不多十條，學(xué)好其中一個變換的性質(zhì)，然后將另兩個進行對比，可以收到事半功倍的效果。

二、如何學(xué)好信號與系統(tǒng)這門課

信號與系統(tǒng)教材公式之多，比高等數(shù)學(xué)有過之而無不及，很多學(xué)生因此望而生畏，那么如何學(xué)好這門課呢？下面提幾條建議。

1、理解物理意義信號與系統(tǒng)不是高等數(shù)學(xué)，物理意義很重要，學(xué)習(xí)任何一個概念和理論，都要注重理解其物理意義。如果追求數(shù)學(xué)技巧而忽視公式背后的物理意義，就是舍本逐末、因小失大了。數(shù)學(xué)只是工具，有時是很強大的工具（如各種變換），但是一定要注意理解數(shù)學(xué)背后的物理意義，以及為什么要引入這些工具，由這些工具又引出了哪些重要的概念和方法。數(shù)學(xué)是為解決問題的工具，背后的物理意義是我們需要關(guān)注的焦點。

2、對比是一個很好的方法將微分方程的經(jīng)典解和差分方程的經(jīng)典解對比，將卷積和卷積和對比，將沖激響應(yīng)和單位序列響應(yīng)對比，將傅里葉變換和拉氏變換對比，將拉氏變換和z變換對比，這些對比都有助于提高學(xué)習(xí)效率，加深理解，收到事半功倍的效果。將時域分析方法和變換域方法進行對比，可以更好地理解變換域方法的優(yōu)勢。3、推導(dǎo)各種變換公式，是很好的基本功訓(xùn)練 傅里葉變換、拉氏變換和z變換三大變換都有專門的表可供參考，但是我建議每個想學(xué)好《信號與系統(tǒng)》這門課的同學(xué)都獨立把所有公式都推導(dǎo)一遍，好處是：在推導(dǎo)過程中，反復(fù)用到各種變換的性質(zhì)，無形中更加深刻地領(lǐng)會變換的各種性質(zhì)。下面是我推導(dǎo)的吳大正《信號與線性系統(tǒng)分析》（第4版）附錄五“拉普拉斯逆變換表”所有公式，并改正了其中的一個錯誤，即編號為4-2的變換。我把推導(dǎo)過程詳細地寫下來，發(fā)給同學(xué)們看，如下圖所示。我敢打包票地說，我寫的公式推導(dǎo)沒有一個學(xué)生認真地閱讀。

4、一定數(shù)量的刷題是必不可少的

學(xué)習(xí)任何理論，刷一定數(shù)量的題目都是不可少的，因為書上的理論都是放之四海而皆準的真理，是“矛盾的普遍性”，怎樣拿這些普遍真理取解決實際問題，是“矛盾的特殊性”，要把普遍性和特殊性結(jié)合起來，唯有刷題，解決實際問題。會做題了，說明對基本理論掌握了，融會貫通了，否則需要繼續(xù)加深對基礎(chǔ)理論的理解，即看書學(xué)習(xí)。牛頓有一句名言：“你若想獲得知識，你該下苦功；你若想獲得食物，你該下苦功；你若想得到快樂，你也該下苦功，因為辛苦是獲得一切的定律。”讓我們不畏艱險，勇敢地克服學(xué)習(xí)上的一道道難關(guān)吧。

三、學(xué)好信號與系統(tǒng)的關(guān)鍵

學(xué)好信號與系統(tǒng)有兩個關(guān)鍵：復(fù)數(shù)和信號分解。1、 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)是一個很強大的工具，能將很復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題很簡單地表達出來，沒有復(fù)數(shù)這個有力的工具，真不知道信號與系統(tǒng)這門課將會復(fù)雜到什么程度，也許根本不會出現(xiàn)這門學(xué)問。2、 信號分解 沒有信號的分解，要求出任意信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)將會是很困難的。各種變換其實就是信號分解思想的運用。信號分解可以在兩個域中進行：時域和變換域。在時域，將復(fù)雜的信號分解為基本信號，由基本信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)和系統(tǒng)的線性時不變性質(zhì)，可以推出卷積、卷積和公式，但是計算仍然太麻煩，于是引入另一種信號分解，即變換域分解。傅里葉變換將信號分解為許多不同頻率信號的疊加，拉氏變換和z變換將信號分解為另兩種形式的復(fù)指數(shù)信號。分解的好處是把困難的問題化為簡單的問題。

四、我學(xué)習(xí)信號與系統(tǒng)的過程

我的本科是在中山大學(xué)讀的，學(xué)的不是通信，所以幾乎所有的通信知識都是自學(xué)掌握的。在學(xué)習(xí)中遇到一些問題，數(shù)學(xué)方面當(dāng)然沒有任何障礙，困難主要在于物理意義的理解上。在和師兄弟討論學(xué)術(shù)問題時，我才意識到自己對很多理論沒有真正理解，完全是把專業(yè)理論課當(dāng)做數(shù)學(xué)來學(xué)的。直到我將《信號與系統(tǒng)》、《通信原理》和《數(shù)字信號處理》等重要課程都講了一遍之后，很多理論的物理意義我才有了比較深刻的理解，而且能融會貫通，能解釋現(xiàn)實中的各種通信現(xiàn)象。所以，我在前面特別強調(diào)對數(shù)學(xué)公式中的物理意義的理解。 我自學(xué)信號與系統(tǒng)這門課時，用的是這本教材：陳生潭等的《信號與系統(tǒng)》（第二版），西安電子科技大學(xué)出版社。

竊以為這本書比吳大正的那本教材更好，可能是先入為主的緣故吧。該書理論講得很好，美中不足的是課后習(xí)題答案很多錯誤，可能是研究生甚至是本科生幫忙做的，我把能發(fā)現(xiàn)的錯誤都更正過來了。

我自學(xué)信號與系統(tǒng)時，一般是每一章花三天：一天看理論，兩天做習(xí)題，全書二十多天結(jié)束。做題時，我不是有選擇地做，而是從頭到尾全部做完，只有極少數(shù)的題目沒有做。中國古時有諺語：賊來如梳，兵來如篦，官來如剃，我做題一般是“官來如剃”的。現(xiàn)在的學(xué)生是連稀稀拉拉地“梳”一下習(xí)題都不認真的，更不用說“篦”和“剃”了。不做習(xí)題，就不會靈活地運用所學(xué)的理論，要么是完全不懂，要么是似懂非懂。學(xué)習(xí)各種變換的性質(zhì)時，不僅要知其然，也要知其所以然，懂得每一條性質(zhì)的來龍去脈，即把證明過程看懂。最后，再重復(fù)一遍牛頓的名言： 你若想獲得知識，你該下苦功；你若想獲得食物，你該下苦功；你若想得到快樂，你也該下苦功，因為辛苦是獲得一切的定律。

原文標題：信號與系統(tǒng)學(xué)習(xí)經(jīng)驗談——信號與系統(tǒng)綜述

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