一、引言

有限元法是求解復雜工程問題的一種近似數值解法，現已廣泛應用到力學、熱學、電磁學等各個學科，主要分析工作環境下物體的線性和非線性靜動態特性等性能。

有限元法求解問題的基本過程主要包括：分析對象的離散化，有限元求解和計算結果的處理三部分。

曾經有人做過統計：三個階段所用的時間分別占總時間的40%~50%、5%及50%~55%。也就是說，當利用有限元分析對象時，主要時間是用于對象的離散及結果的處理。如果采用人工方法離散對象和處理計算結果，勢必費力、費時且極易出錯，尤其當分析模型復雜時，采用人工方法甚至很難進行，這將嚴重影響高級有限元分析程序的推廣和使用。因此，開展自動離散對象及結果的計算機可視化顯示的研究是一項重要而緊迫的任務。

可喜的是，隨著計算機及計算技術的飛速發展，出現了開發對象的自動離散及有限元分析結果的計算機可視化顯示的熱潮，使有限元分析的“瓶頸”現象得以逐步解決，對象的離散從手工到半自動到全自動，從簡單對象的單維單一網格到復雜對象的多維多種網格單元，從單材料到多種材料，從單純的離散到自適應離散，從對象的性能校核到自動自適應動態設計、分析，這些重大發展使有限元分析擺脫了僅為性能校核工具的原始階段，計算結果的計算機可視化顯示從簡單的應力、位移和溫度等場的靜動態顯示、彩色調色顯示，一躍成為對受載對象可能出現缺陷（裂紋等）的位置、形狀、大小及其可能波及區域的顯示等，這種從抽象數據到計算機形象化顯示的飛躍是現在甚至將來計算機集成設計、分析的重要組成部分。

二、有限元分析對網格剖分的要求

有限元網格生成就是將工作環境下的物體離散成簡單單元的過程，常用的簡單單元包括：一維桿元及集中質量元、二維三角形、四邊形元和三維四面體元、五面體元和六面體元。他們的邊界形狀主要有直線型、曲線型和曲面型。對于邊界為曲線（面）型的單元，有限元分析要求各邊或面上有若干點，這樣，既可保證單元的形狀，又可提高求解精度、準確性及加快收斂速度。不同維數的同一物體可以剖分為由多種單元混合而成的網格。網格剖分應滿足以下要求：

合法性。一個單元的結點不能落入其他單元內部，在單元邊界上的結點均應作為單元的結點，不可丟棄。

相容性。單元必須落在待分區域內部，不能落入外部，且單元并集等于待分區域。

逼近精確性。待分區域的頂點（包括特殊點）必須是單元的結點，待分區域的邊界（包括特殊邊及面）被單元邊界所逼近。

良好的單元形狀。單元最佳形狀是正多邊形或正多面體。

良好的剖分過渡性。單元之間過渡應相對平穩，否則，將影響計算結果的準確性甚至使有限元計算無法計算下去。

三、現有有限元網格剖分方法

K. Ho-Le 對網格生成算法進行了系統分類，該分類方法可沿用至今，它們是拓撲分解法、結點連元法、網格模板法、映射法和幾何分解法五種。目前，主要是上述方法的混合使用及現代技術的綜合應用。

1. 映射法

映射法是一種半自動網格生成方法，根據映射函數的不同，主要可分為超限映射和等參映射。因前一種映射在幾何逼近精度上比后一種高，故被廣泛采用。

映射法的基本思想是：在簡單區域內采用某種映射函數構造簡單區域的邊界點和內點，并按某種規則連接結點構成網格單元。這種方法可以很方便地生成四邊形和六面體單元，若需要，也很容易轉換成三角形和四面體單元。

該法的主要缺點：首先必須將待分區域子劃分為所要求的簡單區域，這是一個十分復雜且很難實現自動化的過程。對復雜域采用手工方法劃分甚至不可能，通常各簡單區域邊界采用等份劃分。另外，該法在控制單元形狀及網格密度方面是困難的。鑒于簡單區域自動劃分的困難性，Blacker試圖采用知識系統和聯合體素方法解決，但在復雜多孔域上仍難以處理，主要是體素數量和形狀有限，將待分區域全自動劃分為有限的預定體素并集是很難完全實現的。

2. 拓撲分解法

在不考慮網格單元大小和形狀情況下，Wordenweber提出了使用三種算子連接多邊形各頂點形成粗三角形的二維拓撲分解法，然后細化粗單元至預定規定的網格密度為止。三種算子使用順序為：opj、opl、op0 。同時，Wordenweber也提出了在三維域使用opj（i=0，1，2，3） 和opp五種算子剖分實體。Woo、Thomasma和Saxena等擴充了該法，并將其有效地應用到多面體實體有限元自動網格生成中。Saxena稱該法為EE法，并已與RSD法混合使用構成RSD/EE法。單一的拓撲分解法因只依賴于幾何體的拓撲結構使網格剖分不理想，有時甚至很差。

3. 幾何分解法

凡在產生結點的同時也確定結點間連接關系的方法均稱為幾何分解法，常用的有兩種：遞歸法和迭代法。

遞歸法：Tracy、左建政和Chae等先離散二維物體邊界，然后沿離散邊界向物體內挖掉一個、兩個或三個三角形，重復此操作直到區域挖空為止。Lindhom、Blacker和B.P. Johnston等使用的迭代法不同于前者，首先從物體中挖掉邊界層而不是單元，然后三角化邊界層。上述為二維迭代法，Chae在此基礎上發展了三維迭代幾何分解法，主要分兩步：采用二維迭代幾何分解法生成表面三角形，然后采用三種算子挖切凸體為四面體。在挖切時，突出的特點在于采用新方法生成關鍵點。關鍵點的生成分兩步考慮：一是考慮新點對周圍面和邊的影響，二是通過調整比例因子來確定新點位置。Chae也將所提出的算法成功地應用于自適應網格生成中，但由于被剖分物體形狀必須是單連通凸域，因此，不能實現全自動網格生成。

迭代法：Bykat采用該法。他首先將物體劃分為凸體（手工或自動），隨后根據網格密度分布，在每個凸體邊界上插入結點，然后將物體中間“最長軸”一分為二，在該軸上插入結點，繼續對兩部分做遞歸分割直到最后子域均為三角形為止。商業網格生成軟件Triquamesh仍采用該法，只是分割線的選取與Bykat不同。幾何分解法的最大優點是在離散物體時考慮網格單元的形狀和大小，因此，所生成的網格單元形狀和分布均較好。最大缺點是自動化程度低，不利于復雜件網格生成。

4. 網格模板法（RSD法）

Shephard、Perucchio、Saxena、Sapidis和Yerry等，是這種方法成功運用的主要代表。網格模板法生成有限元網格主要分兩步（以介紹三維實體為主）：

第一，將待分實體用適當大小的立方體箱（樹根）完全包容，按“一化八”原則遞歸離散，然后對每個八分塊按如下方法進行分類：Procedure ModClassCell（Cell，S）=（‘IN’，‘OUT’，‘NIO’） If （八分塊中至少有一個頂點為‘OUT’且至少有一個頂點為‘IN’） then ‘NIO’ Else if （Cell （*S=（） then ‘OUT’ Else if （Cell （*S=Cell） the ‘IN’ Else ‘NIO’ End; {procedure} 對于IN的八分塊繼續遞歸離散直到預定水平級為止，OUT的八分塊不再劃分，NIO的八分塊進一步子劃分，且分類直到預定水平級為止。稱終了IN和NIO八分塊的并集為RSD模型。

第二，對已經形成的RSD模型，目前已有多種生成網格的處理方法，主要有RSD/GDT法、RSD/EE法和RSD/DDT法。它們主要有以下特點：

RSD/EE法不能處理曲面實體、非流形體和不連通實體。與此相反，RSD/DDT法卻能處理有孔的任意曲面實體、非流形體和不連通實體，而且所形成四面體形狀質量良好。

RSD/DDT法根據需要以滿足條件為準則插入新點，因此所插入的新點數量少，而RSD/GDT法則會插入許多冗余點。

RSD/GDT法使用點/實體分類，使時間復雜性至少大一個數量級，而RSD/DDT法不使用點/實體分類，因此，RSD/DDT法平均時間復雜性為O（N2），N為實體S的總表面數。RSD/EE法具有不確定的時間復雜性。

RSD/DDT法完全建立網格圖素拓撲一一對應，因此拓撲是健全的，與此相反，RSD/GDT法是拓撲不健全的。各種RSD法的優點是網格生成完全自動，網格剖分速度快，非常適用于自適應網格生成。主要缺點是邊界單元形狀難于完全保證。另外，RSD法對物體的方向特別敏感。

5. 結點連元法

結點連元法是先生成結點，然后連接結點構成單元。最常用的是DT法和AFM法。

DT法的基本原理：任意給定N個平面點Pi（i=1，2，…，N） 構成的點集為S，稱滿足下列條件的點集Vi 為Voronoi多邊形。其中，Vi 滿足下列條件：Vi={ X：|X- Pi|（|X- Pj|，X（R2，i（j，j=1，2，…，N }Vi為凸多邊形，稱{Vi}mi=1為Dirichlet Tesselation 圖或對偶的Voronoi 圖。連接相鄰Voronoi 多邊形的內核點可構成三角形Tk，稱集合{Tk} 為Delaunay 三角剖分。DT法的最大優點是遵循“最小角最大”和“空球”準則。因此，在各種二維三角剖分中，只有Delaunay三角剖分才同時滿足全局和局部最優。“最小角最大”準則是在不出現奇異性的情況下，Delaunay三角剖分最小角之和均大于任何非Delaunay剖分所形成三角形最小角之和。“空球”準則是Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圓（四面體為外接球）內不包括其他結點。實現Delaunay三角剖分有多鐘方法，Lee和Schachter操作很有效，但很難實現；而Watson、Cline和Renka、Sloan因操作容易、時間效率較好等優點而被廣泛采用。為了進一步提高效率，Sloan研究其算法操作，提出了時間復雜性為O（N）（N為結點總數）的操作方法，從而為快速Delaunay 三角剖分提供了有效途徑。雖然DT法既適用于二維域也適用于三維域，但直接的Delaunay 三角剖分只適用于凸域，不適用于非凸域，因此發展了多種非凸域的Delaunay剖分。

AFM法的基本原理：設區域的有向離散外邊界集和邊界前沿點集已經確定，按某種條件沿區域邊界向區域內部扣除三角形（四面體）直到區域為空集。

AFM法的關鍵技術有兩個：一是區域的邊界離散和和內點的合理生成，二是扣除三角形條件。目前，扣除三角形的條件有多種。

最短距離條件。選取到該區域邊界前沿垂直距離最短的點或到邊界前沿端點距離平方和最小的點構成三角形（四面體）。

最大角條件。在平面區域選與有向邊界前沿BC邊構成角BAC最大的A點）。實體區域選與有向邊界前沿三角形ABC構成的四面體ABCD在D點實體角最大的點。這種選取點構成三角形（四面體）方法可靠，但由于對應于同一邊界前沿可能存在多個最大角情況，我們稱這種現象為奇異現象。

最大形狀質量條件。選取與邊界前沿所構成的三角形（四面體）形狀質量最大的點構成有效剖分。

最小外接圓（球）條件，即空球條件。選取與邊界前沿構成的三角形（四面體）中外接圓（球）半徑最小的點構成有效剖分。即在所形成的三角形（四面體）中不包含任何其他邊界前沿點集。單一使用上述四種四面體扣除條件均會出現奇異情況。使用后兩者扣除單元都將可能引起剖分不可靠，如不可剖分及單元相交等。

AFM法最大優點是，不僅在區域內部而且在區域邊界所生成的網格單元形狀均優良，網格生成全自動，可剖分任意實體。如果將板/殼、實體和梁采用統一的數據結構，則可采用該原理實現不同維數和多種材料等混合工況結構件的網格自動剖分。若配合誤差估計，則這種方法在自適應網格再生技術中使用效果甚佳。目前的發展趨勢是采用AFM/DT混合法。在平面域已得到了成功地實現，但三維實體區域仍存在多種問題，例如：可能出現剖分不可靠和奇異等現象。

四、自動自適應網格剖分

有限元的自適應性就是在現有網格基礎上，根據有限元計算結果估計計算誤差、重新剖分網格和再計算的一個閉路循環過程。當誤差達到預規定值時，自適應過程結束。因此，有效的誤差估計和良好的自適應網格生成是自適應有限元分析兩大關鍵技術。就目前國外研究來看，自動自適應網格生成從大的方面可分為：網格增加技術和網格再生技術。

1. 網格增加技術

該法主要依靠增加自由度總數來提高有限元分析的精度。目前主要采用三種類型方法提高有限元分析精度：h-型、p-型和h-p-型。

h-型，采用有選擇地進一步子劃分網格單元來細化網格以提高自由度。該法使用特別廣泛，RSD模型的網格改進正是利用該法。

p-型，在保持網格劃分不變的情況下，通過提高插值函數的階數獲得高的求解精度。

h-p-型，是將h-型和p-型兩種結合的一種方法。該法雖然實現不容易，但它卻可使收斂速率明顯加快。

實踐表明，在獲得同一精度時，上述三種類型收斂速率是按h-型、p-型、h-p-型順序增加的。

2. 網格再生技術

根據現有網格并配合誤差估計確定新的結點密度分布，然后重新劃分網格，再計算并重復上述過程直到求解精度達到預定目標為止。目前，網格再生技術在平面區域已得到了較好地實現，現概括如下：

確定結點密度的最大和最小值。

按等比數列計算等值線分段總數N和每一條等值線結點密度值。

用N+1個結點密度將區域劃分為相應的等值線。

光順每條等值線。消除等值線與區域邊界及等值線之間的尖角，并沿等值線生成結點。

形成封閉環。從內部等值線和區域邊界中獲得邊界鏈，并按正確順序連接邊界鏈和內部等值線鏈構成封閉環。

形成子區域。子區域的結點密度等于區域邊界結點密度的平均值。

網格生成。采用二維平面網格生成方法構成三角形。

從理論上講，該原理可擴充到三維實體域，但由于三維實體域難以完全自動用等結點密度曲面來分割任意實體，因此在三維域的擴充至今仍未實現。實踐表明，網格再生技術比網格增加技術具有更大的優點，主要表現在前者收斂速度快、網格單元形狀穩定。

另外，還有兩種自適應網格生成類型，它們是r-型和h-r-型。

r-型，是保持網格劃分和插值函數階數不變情況下，通過調整結點位置以改善求解精度。該法收斂速度低，因此，目前很少直接使用這種類型。

h-r-型是上述r-型和h-型兩種方法的綜合。

事實上，在h-型網格改進中所使用的光順技術就是一種r-型，所以可以把h-r-型看成是h-型。

編輯：fqj