Clarke變換是“矢量坐標(biāo)變換”中的一種變換方式，在永磁同步電機(jī)中，電動(dòng)機(jī)的定子磁場是由定子的三相繞組的磁動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的，根據(jù)電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)磁場理論就知，向?qū)ΨQ的三相繞組中通以對(duì)稱的三相正弦電流時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生合成的磁動(dòng)勢(shì)，并以w的速度在空間中旋轉(zhuǎn)。所以，為了簡化交流電機(jī)的分析方法，Clarke提出了一種以電機(jī)定子為靜止參考系的電機(jī)參數(shù)變換分析方式，即依據(jù)功率不變和磁勢(shì)不變的原理，將定子三相物理量從三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到二維坐標(biāo)，簡稱3S/2S變換，其中S表示靜止。

在PMSM中建立合適的坐標(biāo)系

圖1-1中兩個(gè)坐標(biāo)系，其中ABC是PMSM靜止坐標(biāo)系，另一個(gè)坐標(biāo)系是PMSM經(jīng)過Clarke要變換后的坐標(biāo)系：

圖1-1 Clarke坐標(biāo)變換示意圖

圖1-1中PMSM三相繞組每相的有效線圈匝數(shù)為N3，兩相繞組每相有效線圈匝數(shù)為N2，兩種坐標(biāo)系中每相的磁動(dòng)勢(shì)均為有效線圈匝數(shù)與該相電流的乘積。

原理分析

矢量坐標(biāo)變換就是用磁勢(shì)或者電流空間矢量來描述等效的三相磁場、兩相磁場和旋轉(zhuǎn)直流磁場，并對(duì)它們進(jìn)行坐標(biāo)變換。因此矢量坐標(biāo)變化必須要遵循以下兩個(gè)原則：

1、變換前后電流所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場等效;

2、變換前后兩系統(tǒng)的電動(dòng)機(jī)功率不發(fā)生變化。

根據(jù)矢量變換原則，Clarke變換前后的磁場應(yīng)該完全等效，即合成的磁勢(shì)矢量分別在兩個(gè)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上的投影應(yīng)該相等。設(shè)磁動(dòng)勢(shì)是正弦分布的，當(dāng)三相總磁動(dòng)勢(shì)與兩相總磁動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，兩套繞組瞬時(shí)磁動(dòng)勢(shì)在兩相坐標(biāo)系上的投影都應(yīng)相等。

因此根據(jù)圖1-1可以得出磁勢(shì)守恒的式子為：

將式(1.1)變形又可化為矩陣形式為：

因?yàn)槭?1.2)中矩陣不是方陣不能求的逆矩陣，所以需要引入新變量零軸電流：

將式(1.3)和式(1.2)合并可以得到兩相坐標(biāo)系方程為：

所以定義Clarke矩陣為：

Clarke最終表達(dá)形式

其中Clarke矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為：

Clarke矩陣的逆矩陣為：

在Clarke變換下需要保證發(fā)電機(jī)的輸出功率在變換前后不能發(fā)生變換，因此計(jì)算公式為：

由式(1.8)可知，為了確保變換前后輸出功率不變化，可以其中參數(shù)求得：

因此，Clarke變換式為：

如果忽略零軸變量，那么Clarke變換式又可化為：

Clarke如何應(yīng)用

如何得到永磁同步電機(jī)在靜止兩相坐標(biāo)的電機(jī)電壓方程?

永磁同步電機(jī)的定子電壓方程在三相靜止坐標(biāo)系下為：

將式(1.12)乘以Clarke矩陣可以得到永磁同步電機(jī)在兩相靜止坐標(biāo)系下的電機(jī)電壓方程為：