正文

自麥克斯韋方程建立以來，求解已知激勵、特定邊界條件下的麥克斯韋方程組的解一直是一百多年以來最受關(guān)注的問題之一。

圍繞著麥克斯韋方程組的求解，無數(shù)科研工作者前赴后繼的努力，才有了計(jì)算電磁學(xué)如今的面貌，發(fā)展過程大致可以分為四個(gè)階段：

階段1：解析法

對于結(jié)構(gòu)形式簡單的模型，依托高超的數(shù)學(xué)技能，基于maxwell方程和邊界條件，可以計(jì)算出空間場分布，即解析解。其優(yōu)點(diǎn)在于：結(jié)果為嚴(yán)格得數(shù)學(xué)推導(dǎo)，結(jié)果完全正確，沒有誤差，因而可以作為標(biāo)準(zhǔn)去驗(yàn)證各種計(jì)算方法得正確性，也常作為RCS測試中定標(biāo)體，對測試系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定。

1908年，Gustav Mie 給出了均勻圓球?qū)ζ矫娌ㄉ⑸涞脟?yán)格解（Mie理論）。具體理論推導(dǎo)可以參考江長蔭于1996年發(fā)表在《電波科學(xué)學(xué)報(bào)》上得論文。

使用CST仿真軟件的時(shí)域求解器（Transistor），對球的寬帶單站RCS進(jìn)行了計(jì)算：取球半徑為50mm，計(jì)算頻率為0.1GHz~20GHz，參考文獻(xiàn)對求解結(jié)果的分區(qū)：

1）0.1GHz~1GHz頻段內(nèi)，波長遠(yuǎn)大于球半徑，為瑞利區(qū)，此時(shí)單站RCS 隨頻率升高而快速變大；

2）1GHz~10GHz頻段內(nèi)，波長與半徑相當(dāng)，為Mie區(qū)，單站RCS隨頻率升高呈現(xiàn)震蕩性起伏；

3）10GHz~infinity，波長遠(yuǎn)小于半徑，為光學(xué)區(qū)，單站RCS隨頻率變化呈現(xiàn)基本穩(wěn)定。

使用FEKO仿真軟件對單頻點(diǎn)（10GHz）處金屬球的雙站RCS進(jìn)行了計(jì)算，其雙站RCS的分布形式與往期文章中介紹的陣列天線的方向圖有些相似，與感性的認(rèn)知不同，其最大散射方向并不是后向，而是前向，即與入射電磁波同向。這是不是就是科幻小說《三體》中，使用太陽作為無線電放大器的理論依據(jù)，哈哈。

正如往期文章“緣起“收斂性”——Maxwell方程與求解”中所說得那樣，形狀規(guī)則如球形的目標(biāo)，尚可以借助高超的數(shù)學(xué)技巧，完成解析計(jì)算，但是一旦模型的外形變化一下，復(fù)雜的外形所帶來的復(fù)雜的邊界條件，會導(dǎo)致Maxwell方程組無法解析求解。

階段2：近似方法

在那個(gè)“算力”尚不發(fā)達(dá)的年代，類似“全波仿真”的精確計(jì)算方法還沒辦法被實(shí)現(xiàn)，近似方法則因?yàn)槠漭^低的“算力需求”而被廣泛使用，其中要數(shù)幾何光學(xué)算法（GO）和物理光學(xué)算法（PO）應(yīng)用最為廣泛。

GO（Geometrical Optics幾何光學(xué)）

幾何光學(xué)的基本思想基于：高頻電磁波的傳播近似于光，因而波的傳播問題可以采用射線追蹤（Ray-Tracing），從而場的振幅可以根據(jù)波前表面的形狀來確定。顯然，使用幾何光學(xué)方法，陰影區(qū)域中的場完全為零，而被照亮區(qū)域中的場為單獨(dú)的入射場或入射場與反射場的疊加。物體邊沿和尖劈的衍射場被完全忽略，而總場有兩處具有非物理的不連續(xù)性：一處是在亮區(qū)和陰影區(qū)之間的邊界（稱為入射陰影邊界，ISB），另一處是在反射區(qū)和反射不能到達(dá)的區(qū)域之間的邊界（稱為反射陰影區(qū)，RSB）。

其中入射場和反射場可分別由下列公式求得：

入射場和反射場是否被置零則取決于系數(shù)和的取值：

GTD（Geometrical Theory of Diffraction幾何繞射理論）

我們可以在幾何光學(xué)的解中加入衍射場以提高幾何光學(xué)解的精度，由此產(chǎn)生了幾何繞射理論（GTD）。GO的修正繞射線產(chǎn)生于結(jié)構(gòu)不連續(xù)處和材料不連續(xù)處，以及電磁波掠入射光滑凸表面情形，主要有以下集中類型：

UTD（Uniform Theory of Diffraction一致性繞射理論）

Keller導(dǎo)出的GTD理論，在亮區(qū)和陰影區(qū)的邊界兩側(cè)的過度區(qū)失效，如圖所示，以無限長導(dǎo)帶的散射為例，按照GTD理論，則會在兩個(gè)邊界處產(chǎn)生無窮大的散射場，與客觀事實(shí)不相符，而UTD則會通過比例系數(shù)的引入，將過渡區(qū)的場控制在一個(gè)有限大范圍內(nèi)，具有更高的計(jì)算精度。

PO（Physical Optics物理光學(xué)）

另外一類高頻近似技術(shù)從物理光學(xué)（PO）出發(fā)，將電大尺寸導(dǎo)體亮區(qū)表面上的感應(yīng)電流密度近似為，而陰影區(qū)的電流密度近似為。進(jìn)而自由空間中的場分布可以依據(jù)源-場關(guān)系求得：

物理光學(xué)算法被廣泛應(yīng)用于反射面天線輻射特性的計(jì)算，饋源使用全波算法，反射面使用PO算法，兩種算法混合，從而使得電大尺寸的反射面能夠快速獲得相對準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

PTD（Physical Theory of Diffraction物理衍射理論）

物理光學(xué)理論（PO）近似忽略了幾何不連續(xù)性對感應(yīng)電流的影響，因此近似的感應(yīng)電流在亮區(qū)和暗區(qū)邊界處存在不連續(xù)，這種不連續(xù)影響了計(jì)算結(jié)果的精度，通過在感應(yīng)電流中加入非均勻的邊緣電流，以此來改善物理光學(xué)的計(jì)算精度。

后來聞名世界的第一款隱身戰(zhàn)斗機(jī)F-117的隱身設(shè)計(jì)正是基于此理論而完成的設(shè)計(jì)。

SBR（shooting and bouncing ray彈跳射線算法）

將幾何光學(xué)與物理光學(xué)的方法結(jié)合起來，開發(fā)出了功能強(qiáng)大的算法，用于計(jì)算大尺寸復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射，這種混合技術(shù)稱為彈跳射線（SBR）法。在該方法中，從源出發(fā)的入射波用指向物體的射線簇表示。當(dāng)每條射線反彈時(shí)，其相關(guān)的振幅和相位均被追蹤，而反彈過程受幾何光學(xué)的約束。在射線與目標(biāo)的每一個(gè)交點(diǎn)應(yīng)用物理光學(xué)法做積分,以確定射線對散射場或輻射場的貢獻(xiàn),最終解是所有射線貢獻(xiàn)的總和。這種算法已經(jīng)被實(shí)現(xiàn)并廣泛用于計(jì)算雷達(dá)散射特征、大型平臺上天線的輻射特性和復(fù)雜城市環(huán)境中的電磁波傳播。

依托CST軟件的Asymptotic Sovler（漸進(jìn)求解器）的SBR算法，使用個(gè)人筆記本（8GHz內(nèi)存）即可完成電尺寸達(dá)200倍波長的縮比艦船模型的散射特性的計(jì)算，計(jì)算效率可以說相當(dāng)之高。

階段3：數(shù)值方法階段

隨著電子計(jì)算機(jī)“ENIAC”的誕生以及其后“計(jì)算能力”飛速發(fā)展，基于“數(shù)值計(jì)算”的全波分析方法也迎來了爆發(fā)式發(fā)展。其中要以時(shí)域有限差分算法（FDTD），有限元算法（FEM）以及矩量法（MOM）發(fā)展最為完備，成為三種最主流的電磁數(shù)值計(jì)算方法。

FDTD（時(shí)域有限差分）：

1966年，加州大學(xué)伯克利分校的Kane S. Yee教授發(fā)表了基于交替網(wǎng)格的有限差分求解Maxwell方程的論文，1980年，該方法正是被命名為FDTD，全文的被被引用次數(shù)高達(dá)8000次。其離散的對象直接是時(shí)域微分形式的Maxwell方程組:

FDTD所使用離散形式也是最為簡單的立方體網(wǎng)格，每一個(gè)立方體網(wǎng)格就是一個(gè)Yee元胞。

每個(gè)元胞上的電場和磁場可以分解為直角坐標(biāo)系下的三方向分量、、以及、、，上述矢量形式的Maxwell方程即可以展開為標(biāo)量形式的maxwell方程：

由標(biāo)量形式方程可知，方程中包含了對電場和磁場分布函數(shù)的時(shí)間微分運(yùn)算以及空間微分運(yùn)算，以電場為例，其中表示對時(shí)間的微分運(yùn)算，和表示對空間的微分運(yùn)算，其中和最終均可以拆解為，，的組合，這四種微分運(yùn)算可以用這種通用的表達(dá)式進(jìn)行描述，其可近似為一種簡單差分形式：

利用這個(gè)近似運(yùn)算，可以將電場對時(shí)間的微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換成前一時(shí)刻的電場與后一時(shí)刻電場之間的運(yùn)算關(guān)系。同樣地電場E對空間微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換成前一位置處的電場與后一位置處的電場之間的運(yùn)算關(guān)系 ，因而只要給定了電磁場的初始值和(初始條件)以及邊界值和（邊界條件），即可以基于差分關(guān)系式，通過不斷的循環(huán)迭代，求解出任意時(shí)刻，任意位置處的電磁場分布和和。

MOM（矩量法）：

矩量法的的基本數(shù)學(xué)概念最初在20世紀(jì)初被提出，直到20世紀(jì)60年代中期，隨著K. K. Mei教授等研究人員將其引電磁學(xué)的數(shù)值計(jì)算，才逐漸被大家廣泛關(guān)注，1968年，Harrintong教授在其開創(chuàng)性的專著《Field Computation by Moment Methods》中對矩量法進(jìn)行了統(tǒng)一闡述。此后，矩量法得到進(jìn)一步發(fā)展，并被廣泛用于求解各類重要的電磁問題。

FDTD和FEM的統(tǒng)治方程均基于微分形式的Maxwell方程，其特點(diǎn)為：1）其通過直接求解“場”（電場或磁場）滿足的方程來獲得空間電磁場的分布；2）求解對象為“微分形式”的Maxwell方程。而MoM則基于一種完全不同的求解思路。

MoM算法理論主要分為兩個(gè)部分：一個(gè)是矩量法支撐理論，主要包括“格林函數(shù)”，“源-場關(guān)系”，“等效原理”三個(gè)子理論，它們是MoM算法如此特立獨(dú)行的根本原因；另一個(gè)則是矩量法計(jì)算理論，主要包括四個(gè)步驟：建立支配方程—>離散—>匹配—>矩陣求解，這與FEM或FDTD算法的求解過程并無明顯區(qū)別。詳細(xì)的推理過程，作者在往期文章“CAE設(shè)計(jì)師的你，有必要了解計(jì)算電磁學(xué)嗎？”中已做了詳盡展示，此處就不在贅述。

FEM（有限元）：

1969年，P. P. Silvester使用有限元方法分析了空心波導(dǎo)中波的傳播，這是有限元方法第一次被應(yīng)用于微波工程和電磁學(xué)中。

有限元法基于頻域Maxwell方程，其求解的對象是時(shí)諧電磁場，即電磁場在時(shí)間維度上是周期性分布，循環(huán)往復(fù)，無始無終，時(shí)間變量自然也就失去了意義，電磁場只是空間變量的分布函數(shù)：

其采用了擬合效果更好的四面體網(wǎng)格對求解區(qū)域體進(jìn)行剖分。

求解空間離散后，緊接著是要空間中待求解的電磁場分布進(jìn)行離散，其核心思想在于尋找到一組展開未知解的基函數(shù)：

其中為第j條棱邊的切向分量，為待求的切向分量，而為相應(yīng)棱邊上對應(yīng)的基函數(shù)，一旦將所有未知量求解出來，則整個(gè)空間中電場分布就完成了求解。這類似于傅里葉級數(shù)中使用三角函數(shù)展開任意形式的周期函數(shù)，所要做的就是求解每個(gè)基函數(shù)前面系數(shù)，然而對于形狀不規(guī)則的電磁問題，這種基函數(shù)的尋找是及其困難甚至不可能的，有限元法的做法是將目標(biāo)離散成小的單元（三角形，四面體），然后使用非常簡單的線性函數(shù)或二次函數(shù)來近似這個(gè)單元上的未知解，這些簡單的基函數(shù)是一種子域基函數(shù)，其與上文中傅里葉級數(shù)展開中的全局基函數(shù)有著很大的不同。利用有限元將目標(biāo)離散，并依據(jù)電場E在空間Ω滿足的波動方程和在邊界Γ上滿足的邊界條件條件建立子域基函數(shù)的系數(shù)所滿足的方程組：

該方程未知量為子域基函數(shù)的系數(shù)，完成所有未知量的求解，整個(gè)空間的電場分布既可以表示為子域函數(shù)的疊加。

階段4：快速計(jì)算

傳統(tǒng)的數(shù)值方法（FEM/FDTD/MOM等）精度高，但對于復(fù)雜電大尺寸目標(biāo)，離散需要的未知量數(shù)目多，計(jì)算存儲巨大，效率低。高頻近似方法（GO/GTD/UTD/PO/PTD等）存儲量要求低，計(jì)算速度快，但是精度難以滿足要求。

尋求精確、高效的數(shù)值建模方法是計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域高度關(guān)注的重要課題，直到世紀(jì)之交，快速算法的的出現(xiàn)以及后面的迅猛發(fā)展，大大降低了計(jì)算的復(fù)雜度和存儲量。由于胡俊教授所在的電子科大電磁輻射/散射研究團(tuán)隊(duì)研究重點(diǎn)聚焦于“積分方程方法”，因此大會報(bào)告中關(guān)于“快速算法”的一些進(jìn)展主要圍繞“積分方程展開”。積分方程方法的主要特點(diǎn)為：

基于格林函數(shù)：自動滿足遠(yuǎn)場輻射條件，無需設(shè)置吸收邊界條件，沒有網(wǎng)格截?cái)嗾`差；

等效電流/磁流作為待求未知量：分布在目標(biāo)表面（導(dǎo)體/均勻介質(zhì)）或目標(biāo)體內(nèi)（非均勻介質(zhì)）；

阻抗矩陣元素精確計(jì)算難題：奇異性、近奇異性積分?jǐn)?shù)值計(jì)算；

全局耦合：不同于微分方程產(chǎn)生的稀疏矩陣，積分方程方法導(dǎo)致稠密矩陣，帶來較高的計(jì)算復(fù)雜度和存儲量；

快速算法按照求解方法可以分為迭代求解技術(shù)和直接求解技術(shù)，其中迭代求解技術(shù)速度更快但是處理病態(tài)矩陣會存在不收斂的問題，直接求解技術(shù)不存在收斂性的問題、且適合處理多右端項(xiàng)問題。

FMM（快速多級子）：

FMM（快速多級子算法）最初由耶魯大學(xué)的Rokhlin教授提出，用來快速求解粒子間的相互作用和靜態(tài)方程。后來被周永祖（W. C. Chew）教授引入計(jì)算電磁學(xué)，極大的降低了計(jì)算復(fù)雜度和內(nèi)存消耗，其后，國內(nèi)的聶在平教授帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)獨(dú)立在該領(lǐng)域率先取得突破。

在矩量法中，矩陣向量積的計(jì)算可以等效看成計(jì)算許多電流元的自作用和互作用，即計(jì)算每個(gè)電流元所輻射的被所有電流元接收到的場。快速多級子基于這樣的基本思想：首先根據(jù)電流元在空間中的位置將其分成若干組，每一組為相互鄰近電流元的集合，然后基于加法定理，將組內(nèi)不同電流元從不同中心發(fā)出的輻射場變換成一個(gè)共同中心輻射的場。

通俗的理解，可以參考往期文章“CAE設(shè)計(jì)師的你，有必要了解計(jì)算電磁學(xué)嗎？”中“跨省快遞”的類比，由圖可知：快速多級子算法極大的降低單元之間耦合的計(jì)算量。

CG-FFT（共軛梯度-快速傅里葉變換）：

歷史上第一個(gè)為計(jì)算電磁學(xué)開發(fā)的快速算法是共軛梯度-快速傅里葉變換法，因?yàn)槠浜唵涡裕@種方法至今依然是最有效的快速算法。算法的核心思想是將矩量法的矩陣分解成近相互作用和遠(yuǎn)相互作用兩個(gè)部分，這一思想與后來的快速多級子具有相同的核心思想。

有關(guān)共軛梯度-快速傅里葉變換算法（CG-FFT）的更加深入的數(shù)理推演，受限于作者目前的認(rèn)知水平和精力，只能暫時(shí)先留下相關(guān)學(xué)習(xí)著作和參考文獻(xiàn)，以備后續(xù)深入學(xué)習(xí)之需要，互勉。

延申：基于積分方程方法的一些最新進(jìn)展

由于胡俊教授所在的研究團(tuán)隊(duì)主要致力于“積分方程方法”的研究，因此電磁計(jì)算目前最前沿的研究“引申”也主要圍繞積分方程方法（IE）展開。

隨著電磁計(jì)算方法應(yīng)用的日益廣泛，所要面對的求解問題也越來越復(fù)雜，復(fù)雜目標(biāo)電磁建模面對的困難主要分為以下幾個(gè)方面：

目標(biāo)由介質(zhì)/金屬組成，多媒質(zhì)問題；

細(xì)微于宏觀結(jié)構(gòu)并存，多尺度問題；

目標(biāo)電大尺寸/超電大尺寸問題；

散射強(qiáng)度較低（隱身），計(jì)算精確性要求高；

多尺度多媒質(zhì)目標(biāo)計(jì)算的收斂性差；

圍繞這些問題，主要的研究思路有：1）發(fā)展區(qū)域分解方法；2）發(fā)展直接求解器......

DDM（Domain Decomposition Method區(qū)域分解算法）

2013年，IEEE Fellow、俄亥俄州立大學(xué)教授Jin-Fa Lee的學(xué)生Zhen Peng發(fā)表了題為《A Discontinuous Galerkin Surface Integral Equation Method for Electromagnetic Wave Scattering From Nonpenetrable Targets》，并于次年獲得“謝昆諾夫最佳論文獎”，帶動了一股積分方程區(qū)域分解方法（IE-DDM）的研究潮。

傳統(tǒng)積分方程方法（Integral Equation），如我們在FEKO仿真軟件中使用的矩量法（MOM）或基于其上改進(jìn)的多層快速多級子算法（MLFMM），由于需要保持剖分網(wǎng)格在棱邊上不會產(chǎn)生電荷積累，因此對網(wǎng)格的要求是一定要共形，即所有的剖分單元都要共邊。這也有就是為什么使用FEKO對相接觸的模型進(jìn)行剖分時(shí)，必須要union，以確保相鄰模型會一體化剖分，維持共形條件。

網(wǎng)格共形的要求對于處理一些類似于“多尺度問題”時(shí)（同時(shí)包含有精細(xì)結(jié)構(gòu)和平坦結(jié)構(gòu)），則會遇到較大麻煩：如下圖所示的尖錐模型的剖分示意圖，如果需要較好的擬合頭部（精細(xì)結(jié)構(gòu)）形狀，則剖分尺寸較小，根部平坦區(qū)域的網(wǎng)格則顯得過于致密，網(wǎng)格數(shù)量多，如果按照根部平坦區(qū)域去設(shè)置剖分尺寸，則網(wǎng)格對于頭部區(qū)域的擬合則會出現(xiàn)的失真現(xiàn)象，影響計(jì)算精度；同時(shí)，網(wǎng)格尺寸在模型表面過快的增長也會帶來矩陣性態(tài)的惡化，從而導(dǎo)致收斂性變差的問題。

IE-DDM的思想就是按照模型的精細(xì)程度進(jìn)行分類，不同區(qū)域按照不同的剖分尺寸進(jìn)行進(jìn)行剖分，分別計(jì)算，分而治之。其主要克服的難點(diǎn)就在于解決網(wǎng)格不連續(xù)處的電荷積累問題，具體的理論推演可以閱讀Zhen Peng的原文，這里就不作展開了。

文中，作者挑戰(zhàn)了一個(gè)包含天線罩、機(jī)載天線、進(jìn)氣道、掛載武器等多種令積分方程較為頭疼部件的F-16戰(zhàn)斗機(jī)整機(jī)的的電磁計(jì)算問題。分別計(jì)算了戰(zhàn)機(jī)在3GHz和10GHz頻率下的表面電流分布。

Directive solver（直接求解方法）

圍繞著“積分方程”方法，發(fā)展了兩種求解思路，一種類似于上文中所提到的共軛梯度-快速傅里葉變換算法和快速多級子算法的迭代求解方法。這類方法計(jì)算速度快、內(nèi)存消耗小，針對絕大部分電磁計(jì)算問題，不失為最優(yōu)選擇。但是不太適用于以下情況：

病態(tài)矩陣系統(tǒng)（強(qiáng)諧振、多尺度結(jié)構(gòu)）

多右端項(xiàng)問題（單站RCS、不確定性量化）

系統(tǒng)部分更新（逆散射問題、閉環(huán)優(yōu)化）

遇到這些情景時(shí)，高效的直接求解算法可能成為更好的選擇。直接求解方法圍繞散射矩陣，直接開展計(jì)算，因此不存在收斂的問題，且對于多右端項(xiàng)問題，只需計(jì)算一種狀態(tài)，其余狀態(tài)即可快速給出，因此狀態(tài)非常多時(shí)，也不失為一個(gè)好的選擇。

高效的直接求解算法，則是針對“傳統(tǒng)直接求解算法”矩陣計(jì)算速度太慢、內(nèi)存消耗太大的問題而開展的，一般基于低秩壓縮，主要方法有：

改進(jìn)型HODLR矩陣方法

增強(qiáng)型Skeletonization方法

Butterfy方法

審核編輯：劉清