曾經T-Coil被用于商業機密隱藏了數十年，后來技術被公開，可以看到這個技術的確是一個非常令人震驚的技術，本篇文章分析了T-Coil的原理和應用，并且將功能全部集成在小程序中。

T-Coil設計

背景

T-Coil技術首先由Ginzton于1948年首次提出，目的是改善分布式放大器的匹配，比較有趣的是這篇文章的署名有HP的創始人之一Hewlett，但是這項技術被Tek的工程師所發掘，并且用在了示波器的前端，作為HP的商業競爭對手保守技術秘密數十年，直到1960年代才由Tek工程師公開。

如下是摘自上面的一段話：

Tek felt, rightly, that having the T-coil equations for the lossy, asymmetrical case was equivalent to having nukes when everyone else only had rocks and pointy sticks, so they kept this knowledge as a trade secret. The T-coil was one important bit of magic that allowed Tektronix to maintain such a lead on everybody else, because they could get double or triple the gain-bandwidth product out of an amplifier just by adding a capacitor and a pair of coupled inductors in the right place.

Tek公司感到，擁有掌握了帶損耗、非對稱情況的T-線圈方程等同于在其他人在刀耕火種時擁有了核武器，因此他們將這一技術保守為商業機密。T-線圈是使Tek公司保持領先地位的重要法寶之一，因為他們只需在正確的位置添加一個電容和一對耦合電感，就可以將放大器的增益-帶寬積提高一倍或三倍。

這里有一個很有意思的發展史，T-Coil技術由Tek工程師John Addis和BOB ROSS發展，并且借助我國的最早在國際刊物上發表數學論文的學者王季同(K. T. Wang, 1875-1948, 其兒女個個都是著名大家)的王氏代數(Wang Algebra)解決了T-Coil公式的推導。

T-Coil

T-Coil實際上是一個特殊的橋T網絡，網絡拓撲如下：拓撲的變形動畫，由橋T-->H橋-->格型網絡；

說到這里就不得不提一嘴Zobel網絡，Zobel網絡是一種均衡器，其特點是輸入阻抗是恒定的，T-Coil的設計精髓也在這里，就是其輸入阻抗在全頻段為恒阻。所以只需要解這個網絡，這里有兩種計算策略： 1，計算輸入阻抗為恒定值

2，計算D支路器件的輸出電壓，假設D支路負載阻抗為

在T-Coil設計中，上述傳輸函數是個4階系統，可以通過零極點抵消的方式，將變為一個2階系統。而T-Coil就是這拓撲為如下器件的電路結構:

對稱(Symmetric)T-Coil

當上圖的時就是對稱T-Coil，按1計算得到：

公式中有有兩個未知數和，所以，有一個自由度設計參數。這里有3種不同的設計約束：

1.從電容上輸出，即，優化目標是低通帶寬最大

2.從電阻上輸出，即，優化目標是全通(恒阻)

3.優化輸入匹配，使得輸入端口阻抗恒定

從輸出，可以得到一個低通特性：

這是一個2個極點的低通濾波器，既然是濾波器，那么我們就可以依據來構造出不同濾波器類型：

當時，是Butterworth低通濾波器(同時T-Coil有最大帶寬，帶寬是純RC網絡的2.828倍);

當時，是Bessel低通濾波器;

當時，是無過沖的低通濾波器(對應二階系統臨界阻尼);

以下是這幾種濾波器的繪圖：

對于從輸出，這時傳遞函數為一個全通濾波器(All-pass Filter)：

這意味著從輸入端看過去，是看不到電容的，即電容被T線圈中和了，這是由于電容所帶來的兩個極點剛好在平面的對稱位置上由T線圈引入了兩個零點，這樣零點矢量幅度和極點矢量幅度相等。

注意，T-Coil的帶寬擴展能力(BWER, Bandwidth enhancement ratio)注意其前提條件，是電流輸入系統中才有2.828倍的帶寬提升，但是當在50歐姆匹配的系統中，帶寬只有1.414倍提升。

非對稱(Asymmetric)T-Coil

非對稱T-Coil，即，情況就會變得復雜起來，還是按照上面的思路，一個是從輸出，帶寬最大，代表是，理論推導證明帶寬可以無窮大！另外是輸入全頻帶恒定阻抗匹配，代表是BOB ROSS的恒阻設計。

僅最大化帶寬

文獻中提到并沒有封閉表達式，只能通過數值計算才能進行設計。通過一些處理，實際上是存在封閉表達式的，在這里，不能讓輸入阻抗恒定來設計了(這意味著非對稱T-Coil從輸出不是全通)，只能讓傳輸函數的兩個零點和兩個極點抵消來計算，這樣最終傳輸函數是個二階的，即最終傳輸函數為：

上式是是阻尼系數，其實和極點位置密切相關，不同的對應不同的濾波器類型，比如就對應巴特沃斯濾波器類型，就對應貝塞爾濾波器類型，就對應無過沖的臨界阻尼狀態，令：

整理如下，以下是得到公式：

以下是其他參數：

這種非對稱T-Coil有什么優點呢？其優點就是帶寬拓展功能變得更加強大，理論上帶寬可以拓展到無窮(印度老哥發現的)，實際上從上面的公式也可以看出，當越接近于，那么帶寬越大，上式可以驗證當時，即時，，和對稱T-Coil推導一致。下圖是T-Coil帶寬擴展(BWER)能力隨b的變化情況，當減小，帶寬拓展能力迅速上升。

上述公式需要用戶預先給定的參數有，當時對應對稱T-Coil，當時為非對稱T-Coil。

恒阻+2極點設計

BOB ROSS所設計的非對稱T-Coil主要考慮實際電路寄生，然后從全通角度出發來優化參數，優點是電路駐波性能優越，帶寬也得到提升，考慮到T線圈到負載電容之間有寄生電阻，其中一個分析如下：

先通過恒定電阻設計，由Matlab符號計算：

%--------------------------------------------------------------------------
% Edited by bbl
% Date: 2023-09-09(yyyy-mm-dd)
% ross constant-resistance T-Coil
% 1, for constant resistance
%--------------------------------------------------------------------------
syms C_b L_a L_b L_m C R s w_n eta b R_s
A  = 1/(s*C_b);
B  = s*L_a;
CC = s*L_b;
D  = s*L_m+R_s+1/(s*C);
E  = R;
Z = A*B*(CC+D+E)+A*CC*(D-E)-E^2*(A+B+CC);
FF0 = collect(Z,'s');
[nn, dd] = numden(FF0);
FF1 = collect(nn,s);
coef = coeffs(FF1, s);
y = solve(coef(1)==0, coef(2)==0, coef(3)==0, L_b, L_m, L_a);
kk = 1;
L_a = simplify(y.L_a(kk))%L_a =(C*R*(R - R_s))/2
L_b = simplify(y.L_b(kk))%L_b =(C*R*(R + R_s))/2
L_m = simplify(y.L_m(kk))%L_m =C_b*R^2 - (C*R^2)/4 + (C*R_s^2)/4=C_b*R^2-L_a*L_b/(L_a+L_b)

運行得到：

再由恒阻約束解輸出函數為2階系統：

%--------------------------------------------------------------------------
% Edited by bbl
% Date: 2023-09-09(yyyy-mm-dd)
% ross constant-resistance T-Coil
% 1, for constant resistance
% 2, for zeros cancellation
%--------------------------------------------------------------------------
syms C_b L_a L_b L_m C R s w_n zeta b R_s
A   = 1/(s*C_b);
B   = s*L_a;
CC  = s*L_b;
D   = s*L_m+R_s+1/(s*C);
E   = R;
Z_D = 1/(s*C);
F = Z_D*(CC*A+E*A+E*B+E*CC)/(CC*A+CC*B+D*A+D*B+D*CC+E*A+E*B+E*CC);
FF0 = collect(F,'s');
[nn, dd] = numden(FF0);
FF = dd*w_n^2*R - nn*(s^2+2*zeta*w_n*s+w_n^2);
FF1 = collect(FF,s);
coef = coeffs(FF1, s);
Nf1 = collect(factor(coef(1)));
Nf2 = collect(factor(coef(2)));
Nf3 = collect(factor(coef(3)));
Nf4 = collect(factor(coef(4)));
NCR1 = L_a - (C*R*(R - R_s))/2;
NCR2 = L_b - (C*R*(R + R_s))/2;
NCR3 = L_m - C_b*R^2 + L_a*L_b/(L_a+L_b);
y = solve(Nf1(end)==0,Nf2(end)==0, Nf3(end)==0,Nf4(end)==0,NCR1==0,NCR2==0,NCR3==0, L_a, L_b, L_m, C_b, w_n);
kk = 1;
L_a  = simplify(y.L_a(kk))% L_a = (C*R*(R - R_s))/2
L_b  = simplify(y.L_b(kk))% L_b = (C*R*(R + R_s))/2
L_m  = simplify(y.L_m(kk))% L_m = (C*(R + R_s)*(R + R_s - 4*R*zeta^2 + 4*R_s*zeta^2))/(16*zeta^2)
w_n  = simplify(y.w_n(kk))% w_n = (4*zeta)/(C*(R + R_s))
C_b  = simplify(y.C_b(kk))% C_b = (C*(R + R_s)^2)/(16*R^2*zeta^2)

運行得到：

這組公式和BOB ROSS計算的一致，當時，其公式和對稱T-Coil一致.其中的表示當時的帶寬，如果，那么需要使用如下公式計算帶寬:

T.T.True專利

在1960年T.T.True提出了另外一種非對稱T-Coil電路結構，如下：

按上述方法計算得到：

T-Coil統一公式

當然上述討論的T-Coil和實際應用比較還隔著一些寄生參數。另外T-Coil本身還具有寄生電阻，負載也有寄生電阻，所以綜合下來就涌現出來非常多的T-Coil的變種，BOB ROSS在最新論文中總結了所有類型的T-Coil，并且發表了預印本(本公眾號已經將本文翻譯為中文《王氏代數：從理論到實踐》)：

總共有八種不同的情況，小程序中集成了這8種電路結構，可以直接輸入參數進行計算。

這里給出通用對稱和非對稱的matlab計算結果(若對Matlab符號計算感興趣的同學可以下載，源碼提供了直接符號計算T線圈的公式推導過程)：

對稱T-Coil

對于:

對于:

非對稱T-Coil

對于:

對于，同之前BOB ROSS推導的公式。

上式中的表示從輸出的電壓增益。

Tips

對于T-Coil的應用應該注意其應用場景，比如在50歐姆系統中，并且從輸出，那么帶寬展寬就沒有2.828了，實際上只有1.414！這是由于在50歐姆系統中，負載和源阻抗并聯后就只有原來的一半的電阻了，所以RC帶寬也就升高了為原來的2倍。所以T-Coil帶寬擴展效應在電流源輸入的場景下會更有優勢。

當然在50歐姆系統中，從輸出就另當別論了，這時系統是全通的，所以從這點上來說T-Coil可以用來屏蔽線路上的電容，這是非常有吸引力的一個特性。

T-Coil的恒阻特性非常有用，尤其在對VSWR有較高要求的地方都可以考慮使用T-Coil.

T-Coil應用

T-Coil的主要應用有：

行波放大器或寬帶放大器

高速IO的ESD設計

傳輸線線路多點端接

小程序實現

小程序可以計算以上討論的所有T-Coil類型，如下所示：

其中的Asym.(a1)是依據來最大化帶寬的非對稱T-Coil設計原理圖，其他類型和BOB ROSS的一致，如下例子為BOB ROSS的計算表格驗證：

對于對稱T-Coil (d)，輸入、、、，計算結果如下：

同樣的參數，并且設置，使用非對稱T-Coil設計，結果如下：

小程序中除了可以正向設計T-Coil，還可以依據帶寬反推電容，比如帶寬到10GHz，電容的最大值為多少？

得到最終，這是最能實現10GHz帶寬的最大值了。

若需要體驗小程序，請點擊如下圖片鏈接(軟件更新有滯后)：

審核編輯：湯梓紅