1、推薦系統(tǒng)中的EE問題

Exploration and Exploitation(EE問題，探索與開發(fā))是計(jì)算廣告和推薦系統(tǒng)里常見的一個(gè)問題，為什么會(huì)有EE問題？簡單來說，是為了平衡推薦系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和多樣性。

EE問題中的Exploitation就是：對用戶比較確定的興趣，當(dāng)然要利用開采迎合，好比說已經(jīng)掙到的錢，當(dāng)然要花；而exploration就是：光對著用戶已知的興趣使用，用戶很快會(huì)膩，所以要不斷探索用戶新的興趣才行，這就好比雖然有一點(diǎn)錢可以花了，但是還得繼續(xù)搬磚掙錢，不然花完了就得喝西北風(fēng)。

2、Bandit算法

Bandit算法是解決EE問題的一種有效算法，我們先來了解一下Bandit算法的起源。Bandit算法來源于歷史悠久的賭博學(xué)，它要解決的問題是這樣的：

一個(gè)賭徒，要去搖老虎機(jī)，走進(jìn)賭場一看，一排老虎機(jī)，外表一模一樣，但是每個(gè)老虎機(jī)吐錢的概率可不一樣，他不知道每個(gè)老虎機(jī)吐錢的概率分布是什么，那么每次該選擇哪個(gè)老虎機(jī)可以做到最大化收益呢？這就是多臂賭博機(jī)問題（Multi-armed bandit problem, K-armed bandit problem, MAB）。

怎么解決這個(gè)問題呢？最好的辦法是去試一試，不是盲目地試，而是有策略地快速試一試，這些策略就是Bandit算法。

Bandit算法如何同推薦系統(tǒng)中的EE問題聯(lián)系起來呢？假設(shè)我們已經(jīng)經(jīng)過一些試驗(yàn)，得到了當(dāng)前每個(gè)老虎機(jī)的吐錢的概率，如果想要獲得最大的收益，我們會(huì)一直搖哪個(gè)吐錢概率最高的老虎機(jī)，這就是Exploitation。但是，當(dāng)前獲得的信息并不是老虎機(jī)吐錢的真實(shí)概率，可能還有更好的老虎機(jī)吐錢概率更高，因此還需要進(jìn)一步探索，這就是Exploration問題。

下面，我們就來看一下一些經(jīng)典的Bandit算法實(shí)現(xiàn)吧，不過我們還需要補(bǔ)充一些基礎(chǔ)知識(shí)。

3、基礎(chǔ)知識(shí)

3.1 累積遺憾

Bandit算法需要量化一個(gè)核心問題：錯(cuò)誤的選擇到底有多大的遺憾？能不能遺憾少一些？所以我們便有了衡量Bandit算法的一個(gè)指標(biāo)：累積遺憾：

這里 t 表示輪數(shù), r表示回報(bào)。公式右邊的第一項(xiàng)表示第t輪的期望最大收益，而右邊的第二項(xiàng)表示當(dāng)前選擇的arm獲取的收益，把每次差距累加起來就是總的遺憾。

對應(yīng)同樣的問題，采用不同bandit算法來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)相同的次數(shù)，那么看哪個(gè)算法的總regret增長最慢，那么哪個(gè)算法的效果就是比較好的。

3.2 Beta分布

有關(guān)Beta分布，可以參考帖子：https://www.zhihu.com/question/30269898。這里只做一個(gè)簡單的介紹。beta分布可以看作一個(gè)概率的概率分布。它是對二項(xiàng)分布中成功概率p的概率分布的描述。它的形式如下：

其中，a和b分別代表在a+b次伯努利試驗(yàn)中成功和失敗的次數(shù)。我們用下面的圖來說明一下Beta分布的含義：

上圖中一共有三條線，我們忽略中間的一條線，第一條線中a=81，b=219。也就是說在我們進(jìn)行了300次伯努利試驗(yàn)中，成功81次，失敗219次的情況下，成功概率p的一個(gè)分布，可以看到，p的概率在0.27左右概率最大，但我們不能說成功的概率就是0.27，這也就是頻率派和貝葉斯派的區(qū)別，哈哈。此時(shí)，我們又做了300次試驗(yàn)，此時(shí)在總共600次伯努利試驗(yàn)中，成功了181次，失敗了419次，此時(shí)成功概率p的概率分布變味了藍(lán)色的線，在0.3左右概率最大。

4、經(jīng)典Bandit算法原理及實(shí)現(xiàn)

下文中的收益可以理解為老虎機(jī)吐錢的觀測概率。

4.1 樸素Bandit算法

先隨機(jī)試若干次，計(jì)算每個(gè)臂的平均收益，一直選均值最大那個(gè)臂。

4.2 Epsilon-Greedy算法

選一個(gè)(0,1)之間較小的數(shù)epsilon，每次以epsilon的概率在所有臂中隨機(jī)選一個(gè)。以1-epsilon的概率選擇截止當(dāng)前，平均收益最大的那個(gè)臂。根據(jù)選擇臂的回報(bào)值來對回報(bào)期望進(jìn)行更新。

這里epsilon的值可以控制對exploit和explore的偏好程度，每次決策以概率ε去勘探Exploration，1-ε的概率來開發(fā)Exploitation，基于選擇的item及回報(bào)，更新item的回報(bào)期望。

對于Epsilon-Greedy算法來首，能夠應(yīng)對變化，即如果item的回報(bào)發(fā)生變化，能及時(shí)改變策略，避免卡在次優(yōu)狀態(tài)。同時(shí)Epsilon的值可以控制對Exploit和Explore的偏好程度。越接近0，越保守，只想花錢不想掙錢。但是策略運(yùn)行一段時(shí)間后，我們已經(jīng)對各item有了一定程度了解，但沒用利用這些信息，仍然不做任何區(qū)分地隨機(jī)Exploration，這是Epsilon-Greedy算法的缺點(diǎn)。

4.3 Thompson sampling算法

Thompson sampling算法用到了Beta分布，該方法假設(shè)每個(gè)老虎機(jī)都有一個(gè)吐錢的概率p，同時(shí)該概率p的概率分布符合beta(wins, lose)分布，每個(gè)臂都維護(hù)一個(gè)beta分布的參數(shù)，即wins, lose。每次試驗(yàn)后，選中一個(gè)臂，搖一下，有收益則該臂的wins增加1，否則該臂的lose增加1。

每次選擇臂的方式是：用每個(gè)臂現(xiàn)有的beta分布產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)b，選擇所有臂產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)中最大的那個(gè)臂去搖。

4.4 UCB算法

前面提到了，Epsilon-Greedy算法在探索的時(shí)候，所有的老虎機(jī)都有同樣的概率被選中，這其實(shí)沒有充分利用歷史信息，比如每個(gè)老虎機(jī)之前探索的次數(shù)，每個(gè)老虎機(jī)之前的探索中吐錢的頻率。

那我們怎么能夠充分利用歷史信息呢？首先，根據(jù)當(dāng)前老虎機(jī)已經(jīng)探索的次數(shù)，以及吐錢的次數(shù)，我們可以計(jì)算出當(dāng)前每個(gè)老虎機(jī)吐錢的觀測概率p'。同時(shí)，由于觀測次數(shù)有限，因此觀測概率和真實(shí)概率p之間總會(huì)有一定的差值 ? ，即p' - ? <= p <= p' + ?。

基于上面的討論，我們得到了另一種常用的Bandit算法：UCB(Upper Confidence Bound)算法。該算法在每次推薦時(shí)，總是樂觀的認(rèn)為每個(gè)老虎機(jī)能夠得到的收益是p' + ?。

好了，接下來的問題就是觀測概率和真實(shí)概率之間的差值?如何計(jì)算了，我們首先有兩個(gè)直觀的理解：1）對于選中的老虎機(jī)，多獲得一次反饋會(huì)使?變小，當(dāng)反饋無窮多時(shí)，?趨近于0，最終會(huì)小于其他沒有被選中的老虎機(jī)的?。2）對于沒有被選中的老虎機(jī)，?會(huì)隨著輪數(shù)的增大而增加，最終會(huì)大于其他被選中的老虎機(jī)。

因此，當(dāng)進(jìn)行了一定的輪數(shù)的時(shí)候，每個(gè)老虎機(jī)都有機(jī)會(huì)得到探索的機(jī)會(huì)。UCB算法中p' + ?的計(jì)算公式如下：

其中加號(hào)前面是第j個(gè)老虎機(jī)到目前的收益均值，后面的叫做bonus，本質(zhì)上是均值的標(biāo)準(zhǔn)差，T是目前的試驗(yàn)次數(shù)，n是該老虎機(jī)被試次數(shù)。

為什么選擇上面形式的?呢，還得從Chernoff-Hoeffding Bound說起：

因此(下面的截圖來自于知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/32356077)：

5、代碼實(shí)現(xiàn)

接下來，我們來實(shí)現(xiàn)兩個(gè)基本的Bandit算法，UCB和Thompson sampling算法。

5.1 UCB算法

代碼中有詳細(xì)的注釋，所以我直接貼完整的代碼了：

import numpy as np T = 1000 # T輪試驗(yàn) N = 10 # N個(gè)老虎機(jī) true_rewards = np.random.uniform(low=0, high=1, size=N) # 每個(gè)老虎機(jī)真實(shí)的吐錢概率 estimated_rewards = np.zeros(N) # 每個(gè)老虎機(jī)吐錢的觀測概率，初始都為0 chosen_count = np.zeros(N) # 每個(gè)老虎機(jī)當(dāng)前已經(jīng)探索的次數(shù)，初始都為0 total_reward = 0 # 計(jì)算delta def calculate_delta(T, item): if chosen_count[item] == 0: return 1 else: return np.sqrt(2 * np.log(T) / chosen_count[item]) # 計(jì)算每個(gè)老虎機(jī)的p+delta，同時(shí)做出選擇 def UCB(t, N): upper_bound_probs = [estimated_rewards[item] + calculate_delta(t, item) for item in range(N)] item = np.argmax(upper_bound_probs) reward = np.random.binomial(n=1, p=true_rewards[item]) return item, reward for t in range(1, T): # 依次進(jìn)行T次試驗(yàn) # 選擇一個(gè)老虎機(jī)，并得到是否吐錢的結(jié)果 item, reward = UCB(t, N) total_reward += reward # 一共有多少客人接受了推薦 # 更新每個(gè)老虎機(jī)的吐錢概率 estimated_rewards[item] = ((t - 1) * estimated_rewards[item] + reward) / t chosen_count[item] += 1

5.2 Thompson sampling算法

Thompson sampling算法涉及到了beta分布，因此我們使用pymc庫來產(chǎn)生服從beta分布的隨機(jī)數(shù)，只需要一行代碼就能在選擇合適的老虎機(jī)。

np.argmax(pymc.rbeta(1 + successes, 1 + totals - successes))